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高压锅销售量的预测分析
摘要
Logistic增长曲线模型和Gompertz增长曲线模型是计量经济学等学科中的两个常用模型,可以用来拟合销售量的增长趋势。本文运用以上两种曲线模型研究了某地区高压锅的销售量的变化规律,并根据给定的1981年到1993年高压锅销售量的数据,运用趋势分析法,分别建立指数增长模型、Logistic增长曲线模型和Gompertz增长曲线模型来对高压锅的销售量进行预测分析,并对各模型进行了比较分析。
一、模型的背景问题描述
趋势分析法又叫比较分析法、水平分析法,它是通过对财务报表中各类相关数字资料,将两期或多期连续的相同指标或比率进行定基对比和环比对比,得出它们的增减变动方向、数额和幅度,以揭示企业财务状况、经营情况和现金流量变化趋势的一种分析方法。趋势分析法在定量预测。趋势分析法又可称为趋势曲线分析、曲线拟合或曲线回归。它是根据已有的历史数据资料来拟合一条曲线,使得这条曲线能够反映出研究对象本身的增长趋势,然后按增长趋势曲线,对要求的未来的某一点进行估计,预测出该点该时刻的研究对象的预测值。
能够正确并掌握认识销售量的变化规律,才能建立正确的销售量预测模型,做出准确的预报,为企业未来发展方向,企业发展定位,商品生产作出有利预测。
下表为某地区1981年到1993年间高压锅的销售量列表(单位:万台)。
表1-1: 高压锅的销售量(单位:万台)
年份
t
y
年份
t
y
1981
0
43.65
1988
7
1238.75
1982
1
109.86
1989
8
1560.00
1983
2
187.21
1990
9
1824.29
1984
3
312.67
1991
10
2199.00
1985
4
496.58
1992
11
2438.89
1986
5
707.65
1993
12
2737.71
1987
6
960.25
本文根据表1-1高压锅的销售量数据,分析销售量的变化规律,得到该地区高压锅的销售量的变化趋势的拟合曲线,建立销售量的模型,通过建立的销售量模型,得到模拟曲线,根据得到的拟合曲线,并对该地区的高压锅销售量进行预测。通过预测对该地区高压锅生产企业作出指导。当地企业可以根据预报的高压锅销售量,对高压锅生产量进行控制,避免了因为市场的盲从效应而造成的损失。
二、基本假设
1、产品的销售不受人为因素影响。
2、高压锅的销售量随时间连续变化。
3、任一单位时刻,高压锅的增长量与当时的高压锅总量成正比。
4、销售量的增长律短时间内是不变的。
5、在处理数据、拟合曲线,得到模拟曲线的过程,都不考虑随机误差。
6、在一段时间里,销售市场是平稳发展的,在高压锅的销售过程中,市场对高压锅的需求量稳定。
7、假设说明:严格的说,讨论销售量所建立的模型属于离散型模型,但在销售量基数很大的情况下,突然地增加或减少的只是单一的个体或少数几个个体数,相对于全体数量而言,这种改变量是极其微小的,因此,销售量可以看作是可随时间的连续变化,这样,就可以采用微分方程的工具来研究这一问题。
三、问题分析
本文要求根据某地的1981年到1993年间高压锅销售量的数据,建立高压锅的销售量模型。根据 表1-1:高压锅的销售量(单位:万台)提供的数据,以时间t为衡轴,销售量y为纵轴,建立销售时间t与销售量的关系图,如图表3-1:
图表 3-1
根据图表3-1,显然,高压锅的销售量随时间的变化呈指数增长。
产品的销售平稳,经济发展的稳定,销售市场的平稳发展,高压锅在销售过程中,市场的外部环境总体稳定,在这一假设下,高压锅的销售量是随着时间的连续变化而变化的,也就是说,高压锅的销售数量是连续变化的,但总体分析可以得出增长量与当时的高压锅总量成正比,销售量的增长律是不变的。据此,建立高压锅的销售量指数增长模型。
四、符号说明
固有高压锅销售量增长率,即:
时段的高压锅销售量数
高压锅的最大销售量,显然有
五、模型建立
1、建立高压锅指数增长模型
假设商品是自然销售的,即不受人为因素影响,记时刻t的销售量为x(t),在销售量基数很大的情况下,突然地增加或减少的只是单一的个体或少数几个个体数,相对于全体数量而言,这种改变量是极其微小的,可以忽略不计。即销售量可以看作是可随时间连续变化的,将x(t)视为连续、可微函数。记初始时刻(t=0)的销售量为,假设销售量增长率为常数r,即单位时间内的x(t)的增量等于r乘以x(t)。考虑到时间内高压锅销售量的增量,有
令,得到满足微分方程
(1)
由这个方程解出:
(2)
(2)式的参数r和可以用表1-1数据估计。为了利用最小二乘法,将(2)式取对数,可得
,, (3)
分别以1981年到1992年的数据和1981年到1993年的数据拟合(3)式,用matlab计算:
t=0:11;
x=[43.65 109.86 187.21 312.67 496.58 707.65 960.25 1238.75 1560 1824.29 2199 2438.89];
y=log(x);
p=polyfit(t,y,1)
r=p(1),x0=exp(p(2))
Y=polyval(p,t);
X=exp(Y);
p =
0.3435 4.4914
r = 0.3435
x0 = 89.2424
得到r=0.3435,=89.2424
t=0:12;
x=[43.65 109.86 187.21 312.67 496.58 707.65 960.25 1238.75 1560 1824.29 2199 2438.89 2737.71];
y=log(x);
p=polyfit(t,y,1)
r=p(1),x0=exp(p(2))
Y=polyval(p,t);
X=exp(Y);
得到r=0.3205,=97.1060
结果分析:
用上面得到的参数r和代入(3)式,将结果与实际数据比较。X1是用1981年到1992年的数据拟合的结果,计算人口x2用的是全部数据的拟合的结果。
表5-1
年
实际销售量
计算销售量x1
计算销售量想
1981
43.65
89.2424
97.1060
1982
109.86
125.8205
133.7942
1983
187.21
177.3910
184.3439
1984
312.67
250.0989
253.9921
1985
496.58
352.