解决相贯线问题的作图方法.pdf

解决相贯线问题的作图方法王利清
大家,谈
解相遺线问题的作图方法
〔摘要〕空间透视仿射变換可以精确地求解相贯线及相贯线上的某些点,并且利用该方法不用作
辅助椭圆、抛物线和双曲线,使作图大大简化。
〔关鍵词〕相贯线;求解;空间透视仿射变换
中图分类号:TV22.1文章标识码:B文章编号:1009-0088(2011)02-201-2
画法几何中的正投影,规定了投影面互相垂直,投BB平行于AA交AX。于B,B即为B的对应点。
影方向垂直于相应的投影面,它在求两个回转体相贯
时,有时会遇到交线上某些点不能精确作出,只能用近
似的方法求解。或者当参与相贯的曲面立体为非回转
体时,用画法几何中的方法求解相贯线比较困难。如
果在平行投影下两空间场变换,两空间场之间以及投
影方向不受垂直的限制,而是根据解题的需要确定,作
两回转体相贯线时,可避免做辅助椭圆、抛物线、双曲
图1空间透视仿射变换的示意
线等,从而大大简化了作图。
2.2椭圆透视变换成圆
1空间场变换的有关理论
在图2中,AB,CD分别为椭圆的长、短轴,以AB
変为对应的轴面(以CD为轴面也可),按短轴方向拉伸,
空间场变换是在平行投影下的两空间场之间的变使CD成为CD并等于AB,这样就使椭圆变成圆,C为
换,是两平面场透视仿射变换在空间的推广,它可以由C的对应点,AC为AC的对应线。
已知四对对应点(其中任意三个点不在一条直线上)
所确定或者由已知对应轴平面P和一对对应点连线
相互平行,所以空间的透视仿射对应具有一个二重平
面一轴面。两个场中对应的平面的交线、对应直线的
交点都在这个二重的轴平面上。空间透视仿射变换的
基本性质有同素性、从属性、等简比。根据上述性质还
可以推出其它性质,如经过透视仿射圆可变为椭圆,反
过来椭圆也可变为圆,圆经透视仿射变换后不变的性
图2圓仿射变换为圆
三二次曲面的交线(相贯线)问题时,可避免做辅助橢2.3圆锥透视仿射变换成圆集
园、抛物线、双曲线等,从而大大简化了作图。
在图3中,AB为椭圆锥的长轴,OD为椭圆锥的短
半轴,以SOD为轴面,按长轴方向压缩,使AB压缩为A
2几个基本的作图
B,并使AB等于0D的两倍,这样就使椭圆锥变换成圆
2.1点的空间透视仿射变换
锥。SA,SB分别为SA,SB的对应线。若已知椭圆锥底
如图1所示,已知空间透视仿射变换由对应的轴画上的点C,求其在圆锥上的对应点C;作图方法:过C
面P及一对对应点A、A快定,已知点B,求此点对应作I平行于SA交轴面SOD于1,再过1作1C平行于
点B。作图方法:连接A3并延长交轴面于X。,过B作
SA交圆锥底面于C,点C即为C的对应点。
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内蒙古水利
2011年第2期(总第132期)
左点E,同理可求得C点。
例2求圆柱与椭球面的相贯线。
B
图3椭圆锥仿射变换为圆锥
3应用举例
例1求作椭圆锥面与圆柱面的相贯线(见图4)
图5求圆柱面与椭球面的相贯线
已知两立体轴线垂直相交,且都平行于V面。
分析相贯线的水平投影和正面投影均无积聚性,
S
要求作出,用辅助正平面截圆柱,截交线为平行两直
线,但辅助平面与椭圆球的截交线为椭圆,不容易画
出,所以截交线不好作出,如果借助于空间透视仿射变
换,此问题即能解决。
作图。①求相贯线上的特殊点。相贯线上的最
髙、最低点的正面投影1,2及水平投影1,2很容易求
出;相贯线上的最前、最后点的投影需要求出,作正平
面P,P与圆柱的截交线的正面投影与其轴线重合;P
与椭球面的截交线正面投影为椭圆,其短轴ab可直接
确定,为确定长轴的正面投影o,连接d,e,过a作ae
平行于de,就可得到长轴的端点c;以长半轴为轴面,
图4求相贯线上的特殊点
分析:相交两立体只画出了正面投影,如果画出它进行拉伸变换,使半椭圆ab变换为半圆AcB,同时将
圆柱的轴线也进行变换,即kh变换为kK,将kK与半
们的侧面投影,就不难看出,选择过锥顶S侧垂面为辅圆的交点进行逆变换得到相贯线上的最前最后点3
助平面,截得椭圆锥面的截交线为相交两直线,截得圆4的正面投影3,4,由3,4可求出3,4。(②求相贯线上
柱的截交线为平行两直线,它们的交点就是相贯线上的一般点。类似地用一系列的正平面截切椭球体,所
的点,这样可以求得相贯线的投影。但无法求出左交得截交线是相似的椭圆;截切圆柱,所得截交线是与轴
线上的最右点C及右交线上的最左点E,如果柏圆面线平行的两直线,两组截交线的交点即是相贯线上的
是圆锥面,可以用最小内切球作为辅助面求得这两个点,具体作法与求特殊点的方法相同,就不再叙了。
特殊点,现在参与相贯的是椭圆锥面,无法解决。如果依次光滑连接相贯线上的各点,并判别可见性,最后补
用空间透视仿射变换,把椭圆锥面变换成圆锥面,问题全轮廓线即得相贯线的投影。
就可解决。
作图。①AB是椭圆的长轴,OD为椭圆的短轴之4结束语
半,取SOD为轴面,进行压缩变换,把椭圆锥面SAB变
通过上述实例可以看出,空间透视仿射变换可以
换成圆锥面SAB,圆柱变为其自身,以两轴线的交点精确地求解相贯线及相贯线上的某些点;并且利用该
01为圆心,作圆锥面内切球与SA,SB相切于1、2,连方法不用作辅助椭圆、抛物线和双曲线,使作图大大简
接12(球与圆锥的交线为水平园,正面投影积聚为直化,是一种行之有效的方法。
编校:杨亚军)
线12)。②球与圆柱面的交线为两个侧平圆,正面投
影分别积聚为直线34,56,直线12与56交于E点(圆
收稿日期:2010-11-2
锥面与圆柱面的交点)。③进行逆变换,过E作EN平
作者简介:王利清,女,讲师,从事教学工作。
行于SB交轴面S0D于N,过N作NE平行于SB交直
线12于E,E为E的对应点,也即是右相贯线上的最