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立体几何练习120分
第Ⅰ卷 (选择题 共50分)
一、选择题(10×5′=50′)
1.如图,设O是正三棱锥P-ABC底面三角形ABC的中心,
过O的动平面与P-ABC的三条侧棱或其延长线的交点分别记
为Q、R、S,则 ( )
A.有最大值而无最小值
B.有最小值而无最大值
C.既有最大值又有最小值,且最大值与最小值不等
D.是一个与平面QRS位置无关的常量
2.在正n棱锥中,相邻两侧面所成的二面角的取值范围是 ( )
A. B. C. D.
3.正三棱锥P-ABC的底面边长为2a,点E、F、G、H分别是PA、PB、BC、AC的中点,则四边形EFGH的面积的取值范围是 ( )
A.(0,+∞) B. C. D.
4.已知二面角α-a-β为60°,点A在此二面角内,且点A到平面α、β的距离分别是AE=4,AF=2,若B∈α,C∈β,则△ABC的周长的最小值是 ( )
A.4 B.2 C.4 D.2
5.如图,正四面体A-BCD中,E在棱AB上,F在棱CD上,
使得=λ(0<λ<+∞),记f (λ)=αλ+βλ,其中αλ表示EF
与AC所成的角,βλ表示EF与BD所成的角,则 ( )
A.f (λ)在(0,+∞)单调增加
B.f (λ)在(0,+∞)单调减少
C.f (λ)在(0,1)单调增加,在(1,+∞)单调减少
D.f (λ)在(0,+∞)为常数
6.直线a∥平面β,直线a到平面β的距离为1,则到直线a的距离与平面β的距离都等于的点的集合是 ( )
A.一条直线 B.一个平面 C.两条平行直线 D.两个平面
7.正四棱锥底面积为Q,侧面积为S,则它的体积为 ( )
A. B.
C. D.
8.已知球O的半径为R,A、B是球面上任意两点,则弦长|AB|的取值范围为 ( )
A.[0,2R] B.(0,2R C.(0,2R) D.[R,2R]
9.已知平面α∩平面β=l,m是平面α内的一条直线,则在平面β内 ( )
A..一定存在直线与直线m平行,也一定存在直线与直线m垂直
B.一定存在直线与直线m平行,但不一定存在直线与直线m垂直
C.不一定存在直线与直线m平行,但一定存在直线与直
线m垂直
D.不一定存在直线与直线m平行,也不一定存在直线与
直线m垂直
10.如图为一个简单多面体的表面展开图(沿图中虚线折
叠即可还原),则这个多面体的顶点数为 ( )
A.6 B.7 C.8 D.9
二、填空题(4×4′=16′)
11.边长为a的等边三角形内任一点到三边距离之和为定值,这个定值为 ;推广到空间,棱长为a的正四面体内任一点到各面距离之和为 .
12.在△ABC中,AB=9,AC=15,∠BAC=120°,其所在平面外一点P到A、B、C三个顶点的距离都是14,则P点到直线BC的距离为 .
13.已知将给定的两个全等的正三棱锥的底面粘在一起,恰得到一个所有二面角都相等的六面体,并且该六面体的最短棱的长为2,则最远的两顶点间的距离是 .
14.有120个等球密布在正四面体A-BCD内,问此正四面体的底部放有 个球.
三、解答题(4×10′+14′=54′)
15.定直线l1⊥平面α,垂足为M,动直线l2在平面α内过定点N,但不过定点M.MN=a为定值,在l1、l2上分别有动线段AB=b,CD=c.b、c为定值.问在什么情况下四面体ABCD的体积最大?最大值是多少?
16.如图所示,已知四边形ABCD、EADM和MDCF都是边长为a的正方形,点P、Q分别是ED和AC的中点,求:
(1)与所成的角;
(2)P点到平面EFB的距离;
(3)异面直线PM与FQ的距离.
17.如图,在梯形ABCD中,AB∥CD,∠ADC=90°,3AD=DC=3,AB=2,E是CD上一点,满足DE=1,连结AE,将△DAE沿AE折起到△D1AE的位置,使得∠D1AB=60°,设AC与BE的交点为O.
(1)试用基向量,,表示向量
(2)求异面直线OD1与AE所成的角.
(3)判断平面D1AE与平面ABCE是否垂直,并说明理由.
18.如图,在斜棱柱ABC—A1B1C1中,底面为正三角形,侧棱长等于底面边长,且侧棱与底面所成的角为60°,顶点B1在底面ABC上的射影O恰好是AB的中点.
(1)求证:B1C⊥C1A;
(2)求二面角C1-AB-C的大小.
19.如图所示,在三棱锥P-ABC中,PA=PB=PC,BC=2a,AC=a,AB=a,点P到平面ABC的距离为a.
(1)求二面角P-AC-B的大小;
(2)求点B到平面PAC的距离.
立体几何练习参考答案
一、选择题
1.D 设正三棱锥P-ABC中,各棱之间的夹角为α,棱与底面夹角为β,h为点S到平面PQR的距离,则VS-PQR=S△PQR·h=(PQ·PR·sinα)·PS·sinβ,另一方面,记O到各平面的距离为d,则有VS-PQR=VO-PQR+VO-PRS+VO-PQS=S△PQR·d+S△PRS·d+S△PQS·d=··PQ·PR·sinα+·PS·PR·sinα+··PQ·PS·sinα.故有PQ·PR·PS·sinβ=d(PQ·PR+PR·PS+PQ·PS),即==常量.
2.B 设正n棱锥的高为h,相邻两侧面所成二面角为θ.当h→0时,正n棱锥的极限为正n边形,这时相邻两侧面所成二面角为平面角,即二面角θ→π.
当h→∞时,正n棱锥的极限为正n棱柱,这时相邻两侧面所成二面角为正n边形的内角,即θ→π.故选B.
3.B 如图,易知四边形EFGH为矩形,当P→底面△ABC的中心O时,矩形EFGH→矩形E1F1GH.
=E1F1·F1G=a·a=a2.
即S矩形EFGH→a2.当P→∞时,S矩形EFGH→∞.
∴S矩形EFGH∈.故选B.
4.C 如图,∵a⊥AE,a⊥AF,∴a⊥平面AEF.
设a交平面AEF于点G,则∠EGF是二面角α-a-β的平面角,∠EGF=60°,∠EAF=120°,且易知当△ABC的周长最小时,B∈EG,C∈FG.
设点A关于平面α的对称点为A′,点A关于平面β的对称点为A″,连结A′A″,分别交线段EG
、FG于点B、C,则此时△ABC的周长最短,记为l.由中位线定理及余弦定理得
l=2EF=2=4.
5.D 因为ABCD是正四面体,故AC⊥BD,作EG∥AC交BC于G,连结GF,则αλ=∠GEF,且,
∴GF∥BD,故GF⊥EG,且βλ=∠EFG,∴f (λ)=αλ+βλ=90°为常数.
6.C 这两条直线在距a为的平面上,分布在a在该平面上的射影的两侧.
7.A 设正四棱锥各棱长均为1,则Q=1,S=,此时,正四棱锥的高h=,
∴V=Qh=,将Q=1,S=代入选择支,知A正确.
8.B 考虑A、B两点在球面上无限靠近但又不重合,及A、B两点应为直径的两端点时的情况.
点评 若忽视几