任意多面体网格上的欧拉方程数值算法.pdf

航空学报
Sep.252011Vol.32No.91608-1615
Acta Aeronautica et Astronautica Sinica
ISSN1000-6893CN11-1929/V
http://hkxb.buaaeducnhkxb@buaaeducn
文章编号:1000-6893(2011)09-1608-08
任意多面体网格上的欧拉方程数值算法
李书杰,杨国伟
中国科学院力学研究所高温气体动力学重点实验室,北京100190
摘要:发展并验证了一种新的支持多面体网格的欧拉方程离散算法,采用 Fortran95编写了支持任意网格拓扑及三
维复杂外形的通用求解器。在空间离散上,基于径向基函数理论提出了一种新的梯度计算方法,并采用动能通量分裂格
式来得到准确并且稳定的二阶精度重构。该方法不依赖于网格几何形状,因此对网格质量不敏感。由于在时间方向采
用了点隐松弛推进方法,使得该求解器在大时间步长上仍能保持稳定性。最后通过若干数值算例对本文所发展的算法
进行了验证,证明了本文的算法及求解器具有稳定、准确的特性及宽广的网格类型适应性。
关键词:多面体网格;蜂窝网格;径向基函数;动能通量分裂;非结构;复杂外形;可压缩流动
中图分类号:V211.3
文献标识码:A
基于非结构网格的有限体积法具有灵活的复東。为了达到对网格类型的普适性和高速流场计
杂外形适应性得到了广泛的应用?。然而大部算的特殊需要,在离散算法角度上要求求解器在
分基于非结构的网格求解器只能支持四面体、六强激波流场计算中仍能够保证准确性和稳定性,
面体、金字塔和三棱柱这4种网格类型。Ahn并且最小程度地降低计算对网格几何外形的依
等?对二维多边形有限体积法进行了系统研究,赖;在代码结构上则需要发展有效的动态数据结
其结论表明基于多边形网格的格心型有限体积法构。基于以上问题,本文发展了一种新的支持任
相比传统节点型有限体积法具有更强的抗网格扭意网格拓扑的二阶精度重构方法,研制了相应的
曲能力。
通用求解程序,最后从基本问题到复杂问题对求
本文将Ahn等的工作推广到了三维任意解器进行了一系列验证。
多面体网格来求解包含激波间断的高速流场问
题,并成功发展了一个新的支持任意网格的流场1任意网格上的重构算法
求解程序XP(OLY(X-P( )Lyhedral Euler/Navi
er-stokes Solver)。由于多面体网格包含了经典
1.1动能通量分裂格式
类型的网格,每个网格单元面的数量可以是任意
动能通量分裂格式( Kinetic Flux Vector
的,那么支持任意多面体网格的求解程序将具有 Splitting scheme,KFVS)?是一种基于物理的
宽广的网格普适性与灵活的易用性。网格普适性格式。KFVS格式消除了其他黎曼解(如Roe格
为计算者提供了可选择空间,供计算者根据需求式)的非物理现象),格式的迎风性质从物理角度
灵活选择网格类型,摆脱了网格类型对计算的约得到自然的体现。在分子动理学理论中,无碰撞
收稿日期:2010-11-30;退修日期:2010-12-26;录用日期:2011-01-06;网络出版时间;2011-01-2017:32:12
网络出版地址:www.cnki.net/kcms/detail,/1.1929.V.20110120.1732.007.html
D?l:GNK:11-1929/V.20110120.1732.007
基金项目:中国科学院研究生科技创新与社会实践资助专项(2009)
兴通讯作者.Tel.:010-82544006 E-mail: gwang imec.ac.cn
引格式」李书杰,杨国佛.意多面体网搭上的欧拉方程数算法[7.航空学授,201,32(9):1608-1615. Li Shujie, Yang Guo
wei.AMmericalalgorimofEulerequationsonarbtrarypyheda/gridsLい.ActaAeronauticaetAstronauticaSinica,201,32
(9):1608-1615
万方数据
李书杰等:任意多面体网格上的欧拉方程数值算法
的 Boltzmann方程与 Euler方程有如下对应格的面心上得到二阶精度的物理量。面心物理量
关系
需要利用网格中心处的梯度量然后通过 Taylor
くy,af+v?Vf=a,U+V?F=0(1)插值得到。然而,梯度计算的准确性决定了二阶
定义内积为
精度求解器的性能,错误的大梯度量在高超声速
计算中将直接导致程序发散。针对任意网格周围
f)= yf dududde
2)相邻网格的散乱分布特性,需要一种不依赖于几
何外形,只与相邻点几何坐标有关并且是一种非
那么守恒量U=〈w,の),通量F=くy,),矩矢量为
平均拟合的梯度计算方法。
んて70
z2+2+o2+6
其中,径向基函数( Radial Basis Function,
(3)RBF)方法?是一种灵活和准确的多维插值方
法,广泛应用在图像处理、神经网络等领域,还有
式(1)~式(3)中的f为 Maxwellian- Boltzman
众多学者将其应用到了偏微分方程的求解中2
分布函数,具有如下形式:
Shu等将其应用到无网格方法中,发展了RBF
f=l()"exc-axIzー』2+ミ)]()DQ方法い"?本文将RBF方法应用到格心型多
面体有限体积法中,求解高速流场问题。详细的
式中;v=[a为微观速度向量;x为宏观速方法介绍如下
度向量;A=0.5/p,P和护分别为流场密度和压
假设在局部单元模板X={x4}=1,2,N上的
力;变量ε表示内自由度
待求函数为T(x)。设为径向基函数,那么在该
考虑如下形式的格心型 Euler方程
局部模板区域的重构函数的形式为
a.UdV+F?dS=0
9(x)
ンa(II-x,lI)+ad(x)
式中:V和S分别为计算网格单元体积及其表面
积积分;通量F在分子动力学理论中代表了分子
随机运动的宏观物理量。在多面体单元的每个面式中:d(x)={1,x,y,xl1≤k≤4}为一阶自由
上,通量是由于分子的穿透而引起的。分子从左度多项式基;系数a和BA为待定系数,需要满足
向右(从本单元向相邻网格运动)穿透时的物理量以下几个条件:
为U1.,法向速度。>0,从右向左穿透时正好相
(1)需要保证待插函数能够精确等于原数
反。那么我们可以按正负速度两部分利用麦克斯据,即
韦分布来计算最后的通量,即
(x)=T(x)
k=1,2,…,N)(8)
F。dS=F+F
(6)
(2)A必须满足
式中
d(x)=0(k=1,2,…,N)(9
yfydvndeds
来保证线性系统非奇异。
vfydv, deds
选择为 Multiquadrics(MQ)基,通常认为
该基函数具有较好的性能,即
这正是KFVS动能格式?。该通量在多面体的
多个面上累积得到空间残差,形成带时间项的半
(r)
2+e2,e>0
(10
离散方程组。最后,时间推进采用了 Gnoffo的点自由参数e为以下形式(它表示任意多面体网格

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