傅立叶变换应用于通信系统滤波.doc

第五章 傅立叶变换应用于通信系统—滤波、调制与抽样
学习目标
1.理解系统函数H(jω)及傅里叶变换分析法,掌握无失真传输条件。
2.了解理想低通滤波器模型,系统的物理可实现条件,熟悉调制、解调的原理与实现。
3.掌握抽样信号的传输与恢复,熟悉频分复用与时分复用。
教学重点难点
重点掌握无失真传输条件。
教学内容
§ 5.1 引言
本章初步介绍傅里叶变换方法应用于通信系统中的几个主要方面——滤波、调制和抽样。
傅里叶变换形式的系统函数


则依卷积定理有
对于稳定系统
频率响应特性
()
系统函数的物理意义
系统可以看作是一个信号处理
激励:E(jw)
响应:H(jw)·E(jw) (对信号各频率分量进行加权)
()
()
对于不同的频率w,有不同的加权作用,这也是信号分解,求响应再叠加的过程。
§5.2 利用系统函数H(jw)求响应
·系统的频响特性与H(s)的关系
·正弦信号激励下的稳态响应
·非周期信号激励下系统的响应
一.系统的频响特性与H(s)的关系
例:
二.正弦信号激励下系统的稳态响应
则系统的稳态响应为
说明
正弦信号作为激励的稳态响应为与激励频率的信号,幅度由加权,相移动。代表了系统对信号的处理效果
三.非周期信号的响应
傅氏分析从频谱改变的观点说明激励与响应波形的差 异,系统对信号的加权作用改变了信号的频谱,物理概念清楚。
·用傅里叶分析法求解过程烦琐,不如拉氏变换容易。
·引出H(jω)重要意义在于研究信号传输的基本特性,简述滤波器的基本概念,并理解频响特性的物理意义,这些理论内容在信号传输和滤波器设计等实际问题中具有十分重要的指导意义。
总结
系统可以看作是一个信号处理器:
对于不同的频率,有不同的加权作用,这也是信号分解,求响应再叠加的过程。
例5-2-1
解:
例5-2-2
分析:

解:

求v2(t)
波形及频谱图如下:
说明
思考题:
当输入信号为周期矩形脉冲信号时,输出如何?
波形及频谱图
输入为周期矩形脉冲时的输出
正弦信号激励下系统的稳态响应
解

§5.3 无失真传输
一.失真
信号经系统传输,要受到系统函数的加权,输出波形发生了变化,与输入波形不同,则产生失真。
线性系统引起的信号失真由两方面的因素造成
·幅度失真:各频率分量幅度产生不同程度的衰减;
·相位失真:各频率分量产生的相移不与频率成正比,使响应的各频率分量在时间轴上的相对位置产生变化。
·线性系统的失真——幅度,相位变化,不产生新的频率成分;
·非线性系统产生非线性失真——产生新的频率成分。
对系统的不同用途有不同的要求:
·无失真传输;·利用失真??波形变换
二.无失真传输条件


频谱图
几点认识:
·要求幅度为与频率无关的常数K,系统的通频带为无限宽。
·相位特性与成正比,是一条过原点的负斜率直线。
·不失真的线性系统其冲激响应也是冲激函数。
·不失真的线性系统其冲激响应也是冲激函数。
相位特性为什么与频率成正比关系?
只有相位与频率成正比,方能保证各谐波有相同的延迟时间,在延迟后各次谐波叠加方能不失真。
延迟时间t0 是相位特性的斜率:
在满足信号传输不产生相位失真的情况下,系统的群时延特性应为常数。
例
三.利用失真——波形形成
总结
系统的无失真传输条件

§5.4 理想低通滤波器
·理想低通的频率特性
·理想低通的冲激响应
·理想低通的阶跃响应
·理想低通对矩形脉冲的响应
一.理想低通的频率特性

· 为截止频率,称为理想低通滤波器的通频带,简称频带。
· 的低频段内,传输信号无失真 ( ) 。
二.理想低通的冲激响应


波形

几点认识
1.比较输入输出,可见严重失真;
信号频带无限宽,而理想低通的通频带(系统频带)有限的
当经过理想低通时,以上的频率成分都衰减为0,所以失真。
系统为全通网络,可以 无失真传输。
2.理想低通滤波器是个物理不可实现的非因果系统原因:从h(t)看,t<0时已有值。
三.理想低通的阶跃响应
激励
系统
响应
正弦积分
1. 下限为0;
2. 奇偶性:奇函数。
3 . 最大值出现在
最小值出现在
阶跃响应波形
几点认识
1.上升时间:输出由最小值到最大值所经历的时间,
B是将角频率折合为频率的滤波器带宽(截止频率)。
2.阶跃响应的上升时间tr 与网络的截止频率B(带宽)成反比
四.理想低通对矩形脉冲的响应
讨论
时,才有如图示,近似矩形脉冲的响应。如果过窄或过小,则响应波形上升与下降时间连在一起完全失去了激励信号的脉冲形象。吉伯斯现象 :跳变点有9%的上冲。改变其他的“窗函数” 有可能消除上冲。(例如:升余弦类型)
§ 5.5 系统的物理可实现性、佩利-维纳准则
·一种可实现的低通
·佩利-维纳准则
一.一种可实现的低通
理想低通滤波器在物理上是不可实现的,近似理想低通滤波器的实例
公式推导
二.佩利-维纳准则
物理可实现的网络
佩利-维纳准则——系统可实现的必要条件。
说明
·对于物理可实现系统,可以允许H(jω) 特性在某些不连续的频率点上为零,但不允许在一个有限频带内为零。
按此原理, 理想低通、理想高通、理想带通、理想带阻等理想滤波器都是不可实现的;
·佩利-维纳准则要求可实现的幅度特性其总的衰减不能过于迅速;
·佩利-维纳准则是系统物理可实现的必要条件,而不是充分条件
可实现的低通
近似理想低通滤波器的实例
网络传递函数
波形及频谱图
响应是从t=0开始,是一个可实现的网络。
§5.6 利用希尔伯特(Hilbert)变换研究系统的约束特性
·希尔伯特变换的引入
·可实现系统的网络函数与希尔伯特变换
一.由傅里叶变换到希尔伯特变换
已知正负号函数的傅里叶变换
根据对称性得到
则

若系统函数为
则冲激响应
系统框图:
系统的零状态响应

利用卷积定理
结论
具有系统函数为的网络是一个使相位滞后弧度的宽带相移全通网络。
同理可得到:
若系统冲激响应为
其网络的系统函数为
该系统框图为

利用卷积定理
结论
具有系统函数为 的网络是一个使相位滞后弧度的宽带相移全通网络。
希尔伯特变换
希尔伯特正变换

希尔伯特反变换


二. 可实现系统的网络函数与希尔伯特变换
可实现系统是因果系统,其冲激响应