总体最小二乘法在曲线拟合中的应用.pdf

地矿测绘2012,28(3):4~6
CN53-1124/ TD ISSN1007-9394
Surveying and Mapping of Geology and Mineral Resources
总体最小二乘法在曲线拟合中的应用
龚循强',李通,陈西江
(1.西南交通大学地球科学与环境工程学院,四川成都610031;2.浙江省第七地质大队,浙江丽水323000;3.武汉大学测绘
学院,湖北武汉430079
摘要;针对白变量与因变量很少完全服从线性模型的实际,并克服常规最小二乘法处理曲线拟合中忽视自变量的误差的不足
提出总体最小二乘法拟合曲线,同时顾及了自变量和因变量的误差,提高了拟合的可靠性。算例结果表明,总体最小二乘法曲线拟
合效果优于常规最小二乘法。
关键词:总体最小二乘法;自变量;曲线拟合;最小二乘法;精度
中图分类号:P207
文献标识码:A
文章编号:1007-9394(2012)03-0004-03
Application of Total Least Squares Method in Curve Fitting
GONG Xun-qiang, LI Tong, CHEN Xi-jiang
( 1. Faculty of Geosciences and Eneironmental Engineering, Southwest Jiaotong University, Chengdu Sichuan 610031, China; 2. Seventh Geo-
Logical Team of Zhejiang Proince, Lishui Zhejiang 323000, China; 3. School of Geodesy and Geomatics, Wuhan University, Wuhan Hubei
430079. China
Abstract: According to independent variables actual rarely obey linear model, and overcome the shortage of conven
tional least squares ignoring the error of independent variables to process curve fitting. The authors put forward total least
squares fitting curve, which takes into account the errors of independent and dependent variables, and improves the reli
ability of the fitting. The example shows that total least squares curve fitting result is better than conventional least
souar
Key words: total least squares method; independent variables; curve fitting; least squares method; precision
0引言
表明了采用TS曲线拟合效果优于LS算法。
数据采集过程中,自变量、因变量之间一般不会完全符合线
总体最小二乘法基本思想
性关系,大多属于非线性情况。文献[1]探讨了总体最小二乘
目前,最小二乘法是对观测数据进行处理的最常用方法。
法( Total Least Squares,TLS)在直线拟合中的应用,介绍并推导但是,这种算法本身存在着一定的缺陷,其只考虑处理观测向量
了基于奇异值分解方法(SYD)的总体最小二乗估计的计算方中的误差。然而,误差是不可避免的。观测向量、系数阵都可能
法,通过实例验证了该方法的有效性和可行性。本文对TLS在含有误差,在数据处理中如何合理处理系数阵的误差是一项非
曲线拟合中的应用进行了探讨,扩展了总体最小二乘法的应用常有意义的工作。如何同时考虑自变量、因变量的误差,如何处
范围。
在测量界,拟合的目的是根据测量点寻求曲线的特征,求解理系数阵和观测向量同时存在的误差,解决这类问题的适宜方
由线的相关参数,为工程建设管理提供必要的基础信息。曲法是总体最小二乘法”“。
线拟合是给定已有的数据点对其拟合一条曲线,使这条曲线拟
以一元线性回归模型为例说明总体最小二乘的基本框架。
合效果相对于数据散点达到最优,即选取一种最住的曲线模型考虑观测的线性系统为:
对其进行拟合估计。在对已有数据点进行曲线拟合的过程中,
需要考虑两方面的内容,即拟合曲线模型的选取和拟合标准的式中:a,b为理论回归系数;x为自变量。考虑自变量x.与因
判断。
变量y;同时具有误差,则相应的观测方程式变为:
由于采用常规最小二乘法拟合曲线,自变量的误差常常被
y:+U=a+8。+(b。+8)(x:+U
(2)
忽略,因此提出了采用总体最小二乗法拟合曲线,同时顾及自変式中:4,b为a,b的近似值,可以任选已知观測数据的两三
二乗法和总体最小二乘法拟合曲线进行对比分析,并利用算例个数据得到,在満足:in(,吗,)?的条件下(日?,表示
量和因变量的误差的方法,提高了拟合精度。通过对常规最小
*收稿日期:2012-04-08