型材弯曲中截面变惯性矩的计算.pdf

型材
MT At Rowe
型材弯曲中截面吏惯性矩的计算
张天军樊宁济南大学机械工程学院
周东伟
山东五征集因
摘要:本文从惯性矩的定义和一些基本的公式出发,并結合型材弯曲的基本理论,从型材弯曲过程中截面中性层的内移
和面的扭曲变形两方面考虑,阑述弯曲过程中惯性矩的变化,并给出计算公式,为型材弯曲的自动化提供理论基础。
关键词:惯性矩;中性层;扭曲
Abstract: The paper is based on the defini on of moment of inertia and some basic numeration formula. It also combines with
the basic principles of bending. It considers two sides of he shift of neutral layer of cross-section and twisting istortion of cross
section for bending of profile. The paper explains the changes of moment of inertia for the bending process and gives the numeration
formula of moment of inertia. It provides the theoretical basis for automative bending
Key words: moment of inertia, neutral layer, twisting
当今社会对门窗铝型材的要求日益提高,圆弧形所在平面内的坐标。在坐(y,z)处取微面dA,遍
形的铝型材结构在建筑行业中得到了更广泛的使及整个图形面积A的积分分别定义为图形对y
用。而型材的弯曲工艺是满足人们需要的重要方轴和z轴的惯性矩,也称为图形对y轴和z轴的
法,在型材的弯曲中,截面的惯性矩对型材的弯曲二次轴矩。在公式(1)中,由于2和y总是正的,
应变、应力、曲率、回弹等有很重要的影响。但它相所以,和也是恒为正值。惯性矩的量纲是长度
对于其他截面几何量而言,又具有内容复杂、研究的四次方。
方法多、难系统掌握、应用范围广等特点。
众多学者对此有过很多研究,如:陈震,从惯性
矩定义入手,提出了计算强度,刚度和稳定性所使
用的惯性矩是截面对特定轴的惯性矩,即中性轴通
过截面形心的形心主惯性矩。各学者还提出各种
计算惯性矩的方法:以格林公式为基础,提出了平
面图形惯性矩的边界型算法,它主要适用于某些不
建立表达方程的复杂组合图形惯性矩的近似求解;
利用三角形单元顶点坐标来求复杂形状截面的静
矩、惯性矩及惯性积;求截面对任一对轴的惯性矩
和惯性积的图解法。曲春升提出用软件计算型材
截面的惯性矩,这为快速计算惯性矩提供了便利
但在众多研究中,并没有考虑在弯曲过程中,惯性
矩是怎样变化的及其计算方法和公式。为此本文就
弯曲中截面惯性矩的变化进行讨论。
惯性矩的定义
1.1惯性矩基本定义
任意平面如图1,其面积为A。y轴和z轴为图
图1惯性矩定义示意日
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型材专
1.2复杂截面的惯性矩计算公式
l,+l1,,-
对于复杂截面的惯性矩来说,其计算公式是惯
性矩的基本计算公式(1)和平行移轴公式(2)相结
,+l,l,-z
coszatlyzsinza
合。示意图如图2。
(4)
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sin2a++/yasin
2
其中4,分别是截面未发生变化时的对y轴、z
轴的惯性矩,而是图形对y,z轴的惯性积。
图2移轴公式示意图
I=l]+aa
=L+ba
但对于复杂截面的积分是相当困难的,因此
可以先将复杂截面分割成易于计算截面惯性矩的
图3转轴公式示意图
简单形状的小截面,并计算出复杂截面的形心,2基本假设
然后将各小截面的惯性矩通过平行移轴公式转换
由于弯曲过程的复杂性,本文在下面的弯曲分
到通过形心的中性轴上,它们的和即为复杂截面析中采用以下基本假设:
的主轴惯性矩,也就是结构在变形时所需要的截
a)型材的变形为弹塑性弯曲变形;
面惯性矩。
b)型材弯曲后变形区横截面仍为平面,即平面
由于中性轴是中性层和型材截面的交线?,而假设;
中性层在型材的弯曲过程中是内移的,由于在弯曲
纯弹性变形型材厚度不变,纯塑性变形体积
过程中都用到了平面假设,也就是说截面的形状是保持不变。
不变的,这样就可以利用未弯曲时的截面惯性矩和3型材弯曲变化中主惯性矩分析
中性层内移的距离来计算弯曲过程中的截面惯性
由于型材的截面比较复杂,为了分析方便,先
矩的变化。
从最简单的矩形截面分析,这也为以后的复杂截面
1.3栽面扭转时惯性矩的计算
型材弯曲研究提供了基础。
由于在弯曲过程中,结构的截面必然产生扭3.1中性层内移引起截面主惯性矩的变化及计算
曲,但是因为扭曲变形比较小和弯曲过程中的平面公式
假设,可以近似认为是型材截面绕中性轴的旋转。
图4a是型材弯曲前后的比较,图4b是型材截
而型材截面的旋转也就是相当于所在坐标轴的旋面未发生扭曲时弯曲前后的比较。由于型材在弯曲
转,即截面的工作状态发生了变化。所以可以采用过程中,外层受拉伸,内层受挤压,在其断面上必然
转轴公式(3),求得变化中的主惯性矩(4)。示意图会有一个既不受拉,又不受压的过渡层,应力几乎
如图3,若将坐标轴绕原点0旋转α角;且以逆时等于零,这个过渡层称为型材的中性层,即C-C,但
针转向为正,旋转后的新的坐标轴y,z
由于型材弯曲时,以应变中性层为界,外层纤维受
yi=coso+zino
拉使厚度减薄,内层纤维受压使厚度增加。对于型
31=zc0sa-ysin
材的大曲率弹塑性弯曲,中性层向内移动,如图
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