现代数学译丛 莫尔斯理论(J·米尔诺.pdf

录
第一章流形上的非蜕化光滑函数
§1.引论
§2。一些定义和引理
§3,用临界值刻划流形的同伦型
§4.例
55。 Morse不等式
27
S65.欧氏空间中的流形;非蜕化函数的存在性
S7.关于超平面截面的 Lc tz定理…
第二查R
几何概要
§8.协变微分……
59。曲率张量……
●中中甲e甲●●甲中甲甲中甲鲁甲电e电●静
48
510。测地线与完备性…
51
第三对变分学的应用:测地线……
中●甲●电合●回
63
S11.光滑流形的道路空间
§12.道路的能量
●白中●●●●●●●●●自●●●●●●●eee●●● PC9BOU6DOB自
§13.能量函数在临界道路处的 Hesse泛函…
§14. Jacobi场;E**的零化子空间
§15。指数定理…
939
§16.0的有限维運近………
S17。全道路空的拓扑结构…
§18。非共轭点的存在性…
92
S19.拓扑結构与曲率的某些关系……
由中● 91..+BS0836
第四章对e群和对称空间的应用
102
S20对ぶ空间
102
S21.Lie群是对称空间
104
S22.极小测地线组成的全流形………
L10
S23,Bot关于酉群的周期性定理…
由身中●p中中●中e自●电p
S24。正交群的周期性定理
…………124
附录单调并的同伧型…
·自电●p甲
………………140
索引
14
第一章流形上的非蜕化光滑函数
S1.引论
在这一节里,我们将讨论一个特例,借以说明今后要对任意流
形进行讨论的一般问题。让我们考虑一个环面M,切于平面,
如图1所示
M
1
命f:M→R是关于平面的高度(R总表示实数直线)
M以"是合于Jx)≤a的一切点x∈M的集合.于是下述事实为
真
(1)若a<),则M是空集
2)若)(3)若9)1)这里的a<(p)原文是a<0<()。一译注
(4)若fr)柄数为1,边是一个圆周
3
(5)若(s)为了描述当a通过f(),(9),(r)2(s)诸值时M发生
的变化,考虑同伦型比考虑同胚型要方便一些,。就同伦型而言:
(1)→(2)的変化是粘合一个0维胞腔的运算,因为,就同伦
型而言,当f()くa别
图4
这里≈”表示具有同样的同伦型”
(2)→(3)的变化是粘合一个1维胞腔的运算
5
(3)→(4)的变化仍然是粘合一个1维胞腔的运算
(4)→(5)的変化是粘合一个2维胞腔的运算.
粘合一个k维胞腔”的意义,可以确切定义如下。命Y是任
何一个拓扑空间,
ek={x∈R:lxl≤1}
是维胞腔:由k维欧氏空间中长度≤1的所有向量组成,它的边
ek={x∈R:lxl=1},
记为S-1。若g:S→Y是一个连续映像,那么先作Y和e&的
拓扑和(即是隔离并),然后把每个x∈Sk1和g(x)∈Y看成
样,就得到
Y U
(Y和维胞腔用g粘合起来).就=0的情形而言,让e°
是一个点,e°=S1是空集,所以Y和一个0维胞塍粘合起来,不
过就是Y和一个不属于它的点的并
读者可能想到,M“的同伦型发生变化的各点,9,r和s
的特性可以借助于函数f加以简单的刻划。这些点是函数f的临
界点:如果我们在这些点的邻近选取任何一个坐标系(x2y),则
偏导数和同时为零,在点处,我们可以选取(x,y)使
得f=x2+2,在点5处可以使f=常数一x2ーy2,而在点
和r处,可以使f=常数+x2ーy2。注意:在每一点处,f的表
达式中负号的个数,正好就是从M过渡到M时必须粘合的胞腔
的维数,这里a把这些事实推广到流形上的任意可微函数的情形
参文献
为了进一步探讨 Morse理论y下列基本文献是非常有用的
I 1] M.Morse, The Calculus of Variations in the Large, American Mathe
m atical Society, New York, 1934
2] H. Seifert und W. Threlfall, Variationsrechnung im Grossen, New