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第二章 连续时间傅里叶变换
1 周期信号的频谱分析——傅里叶级数FS
(1)狄义赫利条件:在同一个周期内,间断点的个数有限;极大值和极小值的数目有限;信号绝对可积。
(2)傅里叶级数:正交函数线性组合。
正交函数集可以是三角函数集或复指数函数集,函数周期为T1,角频率为。
(3)任何满足狄义赫利条件周期函数都可展成傅里叶级数。
(4)三角形式的FS:
(i)展开式:
(ii)系数计算公式:
(a)直流分量:
(b)n次谐波余弦分量:
(c)n次谐波的正弦分量:
(iii) 系数和统称为三角形式的傅里叶级数系数,简称傅里叶系数。
(iv)称为信号的基波、基频;为信号的n次谐波。
(v)合并同频率的正余弦项得:
(a)
(b)
和分别对应合并后n次谐波的余弦项和正弦项的初相位。
(vi)傅里叶系数之间的关系:
(a)
(b)
(c)
(d)
(e)
(f)
(g)
(5)复指数形式的FS:
(i) 展开式:
(ii)系数计算:
(iii)系数之间的关系:







(iv)关于n是共扼对称的,即它们关于原点互为共轭。
(v) 正负n (n非零)处的的幅度和等于或的幅度。
(6)奇偶信号的FS:
(i) 偶信号的FS:
;;
(实,偶对称);;
(ii) 偶的周期信号的FS系数只有直流项和余弦项。
(iii)奇信号的FS:
;;;
(纯虚,奇对称); ;
(iv) 奇的周期信号的FS系数只有正弦项。
(7)周期信号的傅里叶频谱:
(i) 称为信号的傅里叶复数频谱,简称傅里叶级数谱或FS谱。
(ii)称为信号的傅里叶复数幅度频谱,简称FS幅度谱。
(iii)称为傅里叶复数相位频谱,简称FS相位谱。
(iv)周期信号的FS频谱仅在一些离散点角频率(或频率)上有值。
(v)FS也被称为傅里叶离散谱,离散间隔为。
(vi)FS谱、FS幅度谱和相位谱图中表示相应频谱、频谱幅度和频谱相位的离散线段被称为谱线、幅度谱线和相位谱线,分别表示FS频谱的值、幅度和相位
(vii)连接谱线顶点的虚曲线称为包络线,反映了各谐波处FS频谱、幅度谱和相位谱随分量的变化情况。
(viii)称为单边谱,表示了信号在谐波处的实际分量大小。
(ix)称为双边谱,其负频率项在实际中是不存在的。正负频率的频谱幅度相加,才是实际幅度。
(8)周期矩形脉冲序列的FS谱的特点:
(i) 谱线包络线为Sa函数;
(ii)谱线包络线过零点:(其中为谱线间隔):
,或,
即当时,。
(iii)在频域,能量集中在第一个过零点之内。
(iv)带宽或只与矩形脉冲的脉宽有关,而与脉高和周期均无关。(定义为周期矩形脉冲信号的频带宽度,简称带宽)
(9) 周期信号的功率:
(10) 帕斯瓦尔方程:
2 非周期信号的频谱分析—傅里叶变换(FT)
(1)信号f (t)的傅里叶变换:
是信号的频谱密度函数或FT频谱,简称为频谱(函数)。
(2)频谱密度函数的逆傅里叶变换为:
(3)称为FT的变换核函数,为IFT的变换核函数。
(4)FT与IFT具有唯一性。如果两个函数的FT或IFT相等,则这两个函数必然相等。
(5)FT具有可逆性。如果,则必有;反之亦然。
(6)信号的傅里叶变换一般为复值函数,可写成
(i)称为幅度频谱密度函数,简称幅度谱,表示信号的幅度密度随频率变化的幅频特性;
(ii)称为相位频谱密度函数,简称相位谱函数,表示信号的相位随频率变化的相频特性。
(7) FT频谱可分解为实部和虚部:

(8) FT存在的充分条件:时域信号绝对可积,即。
注意:这不必要条件。有一些并非绝对可积的信号也有FT。
(9)FT及IFT在赫兹域的定义:
;
(10)比较FS和FT:
FS
FT
分析对象
周期信号
非周期信号
频率定义域
离散频率,谐波频率处
连续频率,整个频率轴
函数值意义
频率分量的数值
频率分量的密度值
3 典型非周期信号的FT频谱
(1)单边指数信号:

幅度谱:
相位谱:
单边指数信号及其幅度谱、相位谱如图1所示。
图1 (a)单边指数信号 (b)幅度谱 (c)相位谱
(2) 偶双边指数信号:

,为实偶函数。
幅度谱:
相位谱:
偶双边指数信号及其频谱如图2所示。
图2 (a)偶双边指数信号 (b)频谱
(3) 矩形脉冲信号: (脉宽为t、脉高为E)

,为实函数。
幅度谱:
相位谱:
矩形脉冲信号及其频谱如图3所示。
图3 (a)矩形脉冲信号 (b)频谱
矩形脉冲FT的特点:
(i) FT为Sa函数,原点处函数值等于矩形脉冲的面积;
(ii) FT的过零点位置为;
(iii)频域的能量集中在第一个过零点区间之内
(iv) 带宽为或,只与脉宽有关,与脉高E无关。
信号等效脉宽:
信号等效带宽:
图4 (a)信号的等效脉宽 (b)等效带宽
(4) 符号函数:不满足绝对可积条件,但存在FT。

幅度谱:
相位谱:
符号函数及其频谱如图5所示。
图5 (a)符号函数 (b)频谱
(5) 冲激信号:

均匀谱/白色谱:频谱在任何频率处的密度都是均匀的。
强度为E的冲激函数的频谱是均匀谱,密度就是冲激的强度。
单位冲激信号及直流信号的频谱函数总结:
FT定义è
FT可逆性è
?FT可逆性
?IFT定义
(6) 阶跃信号:不满足绝对可积条件,但存在FT

在处有一个冲激,该冲激来自中的直流分量。
单位阶跃信号及其幅度谱如图6所示。
图6 单位阶跃函数及其幅度谱
4 FT的性质
(1)线性性:
线性性包括:齐次性;叠加性。
(2)奇偶虚实性:
偶偶
奇奇
实偶实偶 (FT可变为余弦变换)
实奇虚奇 (FT可变为正弦变换)
实信号的FT:(实信号可分解为:实偶+实奇)
实部是偶函数,虚部是奇函数:实实偶+j实奇
偶共扼对称:
幅度谱为偶函数,相位谱为奇函数:实实偶EXP(实奇)
虚信号的FT具有奇共扼对称性:
偶共轭对称或奇共轭对称的函数满足幅度对称:。
实信号或虚信号的FT幅度谱偶对称,幅度谱函数是偶函数。
(3)反褶和共轭性:
时域
频域
原信号
f(t)
F(w)
反褶
f(-t)
F(-w)
共扼
f *(t)
F *(-w)
反褶+共扼
f *(-t)