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补充内容:空间向量及运算(二)
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1、目标要点:
(1)掌握空间向量的基本定理,并能简单应用;(2)掌握空间向量数量积的意义及运算并能简单应用。
2、要点回顾:
1、空间向量的基本定理是: 。
推论:设O、A、B、C是不共面的四点,则对空间任一点P,都存在 的有序实数组x,y,z使
= 。
2、空间任意三个不共面的向量都可构成空间的一个 ,这三个不共面的向量叫 。
3、 叫向量与的夹角,记作: 。
4、若 ,则向量与互相垂直,记作: 。
5、已知空间两个向量与,则 叫做向量与的数量积,记作,
即:= 。其几何意义是: 。
6、空间向量的数量积有下列性质:(1) (2) (3) 。
7、空间向量有如下运算律:(1) (2) (3) 。
3、目标训练:
1、设命题P:、、是三个非零向量;命题Q:为空间的一个基底,则P是Q的( )
A、充分不必要条件 B、心要不充分条件 C、充要条件 D、既不充分也不必要条件
2、若是空间的一个基底,则下列各项中能构成基底的一组向量是 ( )
A、 B、 C、 D、
3、已知向量、是平面内的两个不相等的非零向量,非零向量在直线上,则且是的 ( )
A、充分不必要条件 B、心要不充分条件 C、充要条件 D、既不充分也不必要条件
4、设A、B、C、D是空间不共面的四点,且满足,,,则△BCD是 ( )
A、钝角三角形 B、锐角三角形 C、直角三角形 D、不确定
5、给出下列命题:(1)空间任意三个不共面的向量都可以作为一个基底;(2)已知向量//,则、与任何向量都不能构成空间的一个基底;(3)A、B、M、N是空间四点,若、、不能构成空间的一个基底,那么A、B、M、N四点共面;(4)若、、三向量两两不共线,则的充要条件为。其中真命题的是 。
6、已知线段AB、BD在平面内,∠ABD=120°,线段AC⊥,如果AB=,BD=,AC=,则为 。
7、在平行六面体ABCD-A1B1C1D1中,,,,P是CA1的中点,M是CD1的中点,N是C1D1的中点,点Q是CA1上的点,且CQ:QA1=4:1,用基底表示以下向量:
(1); (2); (3); (4)。
8、已知空间四边形ABCD的每一条边和对角线的长都有等于a,,点E、F、G分别是AB、AD、DC的中点,求下列向量的数量积:(1); (2); (3);(4); (5); (6)。
9、点O是正三角形ABC平面外一点,若OA=OB=OC=AB=1,E、F分别是AB、OC的中点,试求与所成的角。