1.3正余弦定理的应用同步分层能力测试题(苏教版必修5).doc

正余弦定理的应用-同步分层能力测试题
A组
一.填空题(本大题共8小题,每小题5分,共40分)
1.某人朝正东方向走了x km后,向左转1500后,再向前走了3 km,结果他离出发点恰好km,那么x= 。
1.或2. 提示:由余弦定理知3=x2+32-6xcos300,解得x=或2.
2.在△ABC中,已知2sinAcosB=sinC,那么△ABC的形状是 三角形。
2.等腰。提示:由2sinAcosB=sinC,知2sinAcosB=sin(A+B),
??? ∴2sinAcosB=sinAcosB+cosAsinB.即cosAsinB-sinAcosB=0.??∴sin(B-A)=0, ∴B=A.
3.一飞机沿水平方向飞行,在位置A处测得正前下方地面目标C的俯角为30°,向前飞行了10000米,到达位置B时测得正前下方地面目标C的俯角为75°,这时飞机与地面目标的距离为 米.
3.。提示:由正弦定理得,得x=.
4.在平行四边形ABCD中,已知AB=1,AD=2,,则= .
4.。提示:,得cosA=,A=600.故B=1200。由余弦定理知:AC2=12+22-4cos1200=7, =.
5.在一次抗洪抢险中,某救生艇发动机突然发生故障停止转动,失去动力的救生艇在洪水
中漂行,此时,风向是北偏东300,风速是20 km/h;水的流向是正东,流速是20km/h,若
不考虑其他因素,救生艇在洪水中漂行的速度的方向为北偏东___________,大小为___________km/h.
5.60, 20。提示:解法一:如图1,∠AOB=600,
由余弦定理知OC2=202+202-800cos1200=1200,故OC=20。
解法二:实质求,平方即可。 图1
6.把一30厘米的木条锯成两段,分别做钝角三角行ABC的两边AB和BC,且∠ABC=120,
AB= 时,才能使第三条边AC最短。
6. 15.提示:在△ABD中,设AB=x(0AC=x-2x(30-x)cos120 =900-30x+x=(x—15)+675,
所以 把AB锯成15厘米时第三条边AC最短
7. 在△ABC中,边a,b,c的对角分别为A、B、C,且。则角B= 。
7..提示:由正弦定理可设=k.
代入已知式,可得,
由余弦定理,,
8. 如图2,在四边形ABCD中,已知AD^CD, AD=10, AB=14, DBDA=60°, DBCD=135° ,
则BC= 。
8.。提示:在△ABD中,设BD=x,
则
即 , 图2
整理得:,解之: ,(舍去)。
由正弦定理: ∴。
二.解答题(本大题共4小题,共54分)
9.在奥运会垒球比赛前,C国教练布置战术时,要求击球手以与连结本垒及游击手的直线
成15°方向把球击出,根据经验,通常情况下,球速为游击手最大跑速的4倍,问按这样
布置,游击手能否接着球?
解.如图3:设接球点为B,O为守垒,A为游击手出发点
,
故不能接着球. 图3
10. 在ΔABC中,b=asinC且c=asin(900-B),判定ΔABC的形状。
解:∵ c=asin(900-B)=acosB=
;
又∵
由条件
∴综上得ΔABC是等腰直角三角形。
11.平面内三个力,,作用于同丄点O且处于平衡状态,已知,的大小分别为1kg,kg,、的夹角是45°,求的大小及与夹角的大小.
11.解 如图4,设与的合力为,则|F|=|F3|.
∵∠F1OF2=45° ∴∠FF1O=135°.
在△OF1F中,由余弦定理
=.
.
又由正弦定理,得. 图4
∴∠F1OF=30° 从而F1与F3的夹角为150°.
答:F3的大小是(+1)kg,F1与F3的夹角为150°.
12. 在中,所对的边长分别为,设满足条件和,求和的值。
解法一:由余弦定理,
因此, 在△ABC中,∠C=180°-∠A-∠B=120°-∠B.
由已知条件,应用正弦定理
解得从而
解法二:由余弦定理,
因此,,由,
得
所以 ①
由正弦定理.
由①式知故∠B<∠A,因此∠B为锐角,于是,
从而
说明 求的关键是利用余弦定理的变式:cosA=。另外,在三角形中内角和为1800也是常用的一个结论。
备选题:
1.为了测河宽,在一岸边选定两点A和B,望对岸的标识物C,测得∠CAB=45,∠CBA=75, AB=120米,则河宽= 。
1. 60+20.提示:把AB看成河岸,要求的河宽就是C到AB的距离,也就是的边AB上的高。在中,有正弦定理,得BC==40(米)。
设河宽为h=BCsin75=40×=60+20.
2. 在△中,角所对的边分别为,已知,,.
(1)求的值;
(2)求的值.
解:(1)由余弦定理,,得,
.
(2)方法1:由余弦定理,得,
∵是的内角,
∴.
方法2:∵,且是的内角,∴.
根据正弦定理,,得.
3. 某海轮以30海里/小时的速度航行,在A点测得海面上油井P在南偏东,向北航行40分钟后到达B点,测得油井P在南偏东,海轮改为北偏东的航向再行驶80分钟到达C点,求P、C间的距离.
解:如图5,在△ABP中,AB = 30×= 20,
∠APB =,∠BAP =,
由正弦定理,得:=,即=,解得BP =.
在△BPC中,BC = 30×= 40,
由已知∠PBC =,∴PC === (海里). 图5
所以P、C间的距离为海里.
B组
一.填空题(本大题共6小题,每小题5分,共30分)
1. 在△ABC中,若c=4,b=7,BC边上的中线AD的长为3.5,则a= .
1.9.提示:设CD=DB=x, 在△ACD中,由余弦定理,得osC=.
在△ABC中,由余弦定理,得cosC=.
∴=,解得x=4.5,a=9.
2. 如图6,甲船在A处,乙船在A处的南偏东45°方向,距A有9n mile并以20n mile/h的速度沿南偏西15°方向航行,若甲船以28n mile/h的速度航行,追上
乙船至少要 h.
2. .提示:设用t h,甲船能追上乙船,且在C处相遇。
在△ABC中,AC=28t,BC=20t,AB=9,设∠ABC=α,∠BAC=β。
∴α=180°-45°-15°=120°。根据余弦定理,
, ,(4t-3)(32t+9)=0,解得t=,t=(舍).
3.我国发射的“神舟六号”飞船开始运行的轨道是以地球的中心F为一个焦点的椭圆,测得近地点A距地面200 km,远地点B距地面350km,地球半径为6 371km,则在椭圆轨道上的飞船看地球的最大视