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用Chord法求解非线性方程的奇异问题.pdf

  • 上传人:红茶化学家
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  • 上传时间:2020-02-11
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    关 键  词:
    Chord 求解 非线性 方程 奇异 问题
    资源描述:
    資民htp:/www.cqvp.com
    常12卷?3朝
    哈尔滨电工学院学报
    Yol 12 M3
    198年月
    HET outta
    P
    gby
    用 Chord法求解非线性方程的奇异问题
    潘壮元
    周世平
    尔滨电工学陀)(木斯师专

    本文在Bana~h空词中计论了用 Chord法ボ解非线性方程F(x)=0的寺
    异间題,推广了 Decker和に elley的结果。在文献に11中, Dec ker和 \elley对
    F'(x*)的愛空河为一的情观证明了 Chord法的次收性。本文证明了零空间
    为有限独时 Chord法的次收致性
    关词:菲线性汀捏,奇异问题,弦线法。
    设F是从 Ranach宝间B到F的 Frechet可微算子。设,*是方程
    F(x)=0
    的解。解邗:线性方程最重要称方法之ー是New1on法,它的法代程序如ド:
    F'(xn)-(
    当初点x3选择适当,F'(x*)奇?月F(x) Lipschitz连续叫, Newton法具有
    二阶收敛速度。但是 New ton法在每步都要计算F(x)及求道,工作量较大。 Chord
    法,即简化 Newton法克服了 New ton法的这个缺点,它的迭代格式如下:
    xn1=x。~F'(x)F(xn)
    Chord法只需计算初始点的导数和泊。然丽,当P(x)导时,它的速度降为线性收
    当F(x*)奇异討, Decker和 Kelly等人关于 Weirton法及其它方法的收攽性在
    近几年里做了一些研究、ー7。
    设F(x)为一指数为零的 Fredholm算予。用N、ざ分別表示ア(x*)的空间
    值域。用P:、アx分表到N、N上的投影算子川有
    B=W f
    Fr(p,O)=x0くxーxにく2Px(xーx“)≤、アな(xーx*:
    (5)
    用a(x)表示阶为ーx*:的項,令x-xーx*
    本于1988年4月5「!收
    哲資民ht
    3期
    潘壮元等:用 Chord法求解非线性方程的奇异问题
    3?3
    B(=)=ーIyF"(x")(=,Pw
    (6)
    关于 Newton法的收敛性定理如下
    定理1(2)设(])dimN当P、充分小時,x∈I(。0),F(x)い存在。映射Gx=xーF(x)-F(x)为映
    (p,)到自身的映射。且存在C1ン0,使が于任意x∈W(p,0の),有F(x)-≤C
    x-x。此外,若x∈F(P,0),xn+:=G(x,),则xn收敛于x*且有下列估计:
    ≤C
    2
    8)
    由定理1可以看出,奇异情况的 New ton:法;只要使初始值选在一个特殊的区城
    形(p0)里, Newlon法收敛,目.在值域X上二阶收敛,而在零空间N上是线性收敛
    其渐近收敛速率为1/2。
    对于 Chord法的奇舁问题, Griewankl5]曾指出:对于有限维问题,如果 Chord法
    代xn收敛到x*,则在
    ani。ーx
    的意义下j是次线性收敛。1983年, Decker和 Kelley(就F/(xt)的零空间为一维的
    况给出了 Chord法的收敛性定理。论证了此时 Chord法在式(9)的意义下是次线性收
    敛的
    本文将F(x)的零空间由一维推广到有限维,其结论仍然成立。
    设 dim V=m,则可选择N中?一组基e1,e2,…,en,使得
    EX
    (10)
    其中E=(euea,…,en),X。=(x,x。2,…,x。)ア,且x>0(1≤i≤m)。这是可以做
    到的。再设
    EX
    (11)
    棋中Xn=(x?、x2,…,")T。则存在实对角矩库A,使得
    AX
    印An满
    PEX=EA。X=PNxn
    本文的主要定理,即收敛性定理如下
    定理2设 Iimnく,xu∈にW(p,),PF"(x“)(x,PN?)为N上非奇异算子,则对
    于充分小的和6, Chord代xn∈形(P,U)(m≥1),且收敛到x,且有
    0≤An(I
    3
    Aa)≤An+≤Aa,(Iー)
    13)
    lPnx01≤:P、xn1≤P
    14)
    Px≤Li
    資民htp:/www.cqvp.com
    哈尔滨工竽院学报
    算!2芒
    2定理的证明
    下面在零空间N中定义范效。对于V中的任一给定非零元素Pv,都有Z∈R
    使得
    EZ
    其中Z=(2Z2,…。2)『、>0(1≤i≤加)。
    这祚、对于N中任一給定元素Pwx,有
    Pxx=EA、Z=FY
    X=A,2
    16b)
    其中A是对角矩阵,由此定义N中范数如下;
    IPVXIN=EA,2N=4,I1E2I
    不难验证这个新定义的范数满足范数公理。不仿将Z取成X。再把零空间上的范数延拓
    到整个空间B,对于Vx∈B,定义B中范数I、为
    xx=下Pxl+.Psx
    在证明定理之前,先给出一些符号表示的意义对于x∈B,定义xーxーx*。定义
    i由 Chord法生的B。、Pn如下
    p. P
    18
    (19)
    定义N上的线性算,D(x)、D(x)如下
    D(x) =PNF(x)(x, P.>>>
    (20)
    D(x)=P: F(x(P
    (21)
    对于对角矩阵A定义
    Al=max{u1!/1≤j
    (22)
    用m(x)表示阶为x"项,Bn(x)(Bn(x)表示阶为IP4x( Paxil)的项。
    引理1(2设定理2的条件满足,则对于充分小的p和0,当x∈形(,0)时
    F《x)1存在,且
    FI(x)
    D(x)~Ps+B。(x)=PsD(
    +68_(x)
    (23)
    引203)如果xE(P,),且x。为 Chord迭代,则
    =PxxーF(x)-1Fッ(x)(x,,)+En
    (24a)
    其中
    Bo(xn)B1*(x)+B-1bs(xn)
    (24)
    引?3(2.4)对于充分小的、B,有
    く1)存在K0>0使得
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