第一学期期中考试高三数学试卷(理).doc

上海市七宝中学2007学年度第一学期期中考试
高三数学试卷 (理)
题号
1—11
12—15
16
17
18
19
20
21
总分
得分
一、填空题(每题4分,共44分)
1、方程 的解是 .
2、若若,则 。
3、已知为上的减函数,则满足的实数的取值范围是 。
4、已知集合,.若,则实数的取值范围是 .
5、若数列的前项和,数列中数值最小的项是第
项.
6、已知为常数) ,则 。
7、已知,,成等差数列,成等比数列,则的最小值是 。
8、已知数列对于任意,有,若,则 。
9、命题“对任意的,”的否命题是:
。
10、若函数的定义域为,则的取值范围为_____ .
11、记数列前项的积为πn = a1a2 … an,设=π1π2 …πn.若数列,为正整数,则使最大的的值为 。
二、选择题(每题4分,共16分)
12、已知函数,的定义域分别为。则=( )
A. B. C. D.
13、 若函数的反函数为,则函数与的图象可能是( )
A. B. C. D.
14、 若数列满足(为正常数,),则称为“等方比数列”.
甲:数列是等方比数列; 乙:数列是等比数列,则( )
A.甲是乙的充分条件但不是必要条件;B.甲是乙的必要条件但不是充分条件
C.甲是乙的充要条件; D.甲既不是乙的充分条件也不是乙的必要条件
15、定义在上的函数既是奇函数,又是周期函数,是它的一个正周期.若将方程在闭区间上的根的个数记为,则可能为( )
A.0 B.1 C.3 D.5
三、解答题:
16、(满分12分)解不等式组:
17、(满分12分)为了预防流感,某学校对教室用药熏消毒法进行消毒.已知药物释放过程中,室内每立方米空气中的含药量(毫克)与时间(小时)成正比;药物释放完毕后,与的函数关系式为(为常数),如图所示。试求:
(I)从药物释放开始,写出每立方米空气中的含药量(毫克)与时间(小时)之间的函数关系式;
(II)据测定,当空气中每立方米的含药量降低到毫克以下时,学生方可进教室,那么药物释放开始,试问至少需要经过多少小时后,学生才能回到教室?
18、(满分14分)已知
(1)当,为常数时,求的最小值,并指出取到最小值时的值;
(2)当时,且对任意的,都有都成立,试求的取值范围。
19、(满分14分)设函数的定义域为,若命题与命题有且仅有一个为真命题,求实数的取值范围。
20、(满分18分)已知数列的首项为常数),前项和恒为正值,且当时,
(1)证明是等比数列;(6分)
(2)求的通项公式;(4分)
(3)试比较与的大小,并给出证明。(8分)
21、(满分18分)已知定义域为的函数同时满足以下三条:(1)对任意的,总有(2);(3)若则有成立。解答下列各题:
(Ⅰ)求的值;(4分)
(Ⅱ)函数在区间上是否同时适合(1),(2),(3)?并给出证明;(6分)
(Ⅲ)假定存在使得且试求出的解析式,并说明理由。(8分)
上海市七宝中学2007学年度第一学期期中考试
高三数学试卷参考答案 (理)
一、填空题
1、 ;2、; 3、;4、 ;5、 项;
6、1;7、4;8、; 9、存在,使;10、;11、(理)22(文) 11;
二、选择题
12、(C)13(A )14(B)15(D)
三、解答题:
16、解:由得;由,分类讨论得;
所以原不等式的解:。
17、解:(1)依题意,两函数都经过点,药物释放过程中,,药物释放完毕后,,所以 ;
(2)当空气中每立方米的含药量降低到毫克以下时,学生方可进教室,由
18、解:(1),当且仅当时取等号;
(2)由题意得:,所以
19、解:设由题意得:当,则有;当,则有;若真假,则;若假真,则;
故:
20、解:(1)当时,
化简得:又由可求得
当时,恒成立.
而恒为正值,故是等比数列,公比为a.
当时,恒成立,
而恒为正值,故是等比数列,公比为a。
(2)
(3)当n=1时,
当时,
恒为正值,
且
若0若时,则
总之,当n=1时,则
当时,若0若a>1,
21、(理)解:(Ⅰ)取得又由故.
(Ⅱ)显然在上满足.
若
则
故适合(1)(2)(3)
(Ⅲ)猜想。由(3)知任给时
事实上,知
若,则前后矛盾;
若,则前后矛盾;
故
21、(文)解:(1)函数满足,可得或;
又,所以.
(2)因为,所以,由题意只需研究在上的单调性,该函数在区间内为单调递增函数.
证明:任取,有
由于,,,,
,即.
故函数在区间为增函数.
(3)原方程即为----①
显然,恒为方程的1个解;
当时,①式等价于:,
所以,当,即当时方程在区间有1个解,此外无解;
当且时,①式等价于:
由或.所以,当时,
原方程在区间有1个实数解,此外无解.
所以当时,有三个解。