Toeplitz算子的指标.pdf

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第23第4期
嗆尔滨筑工程学院学报
Vol23 No 4
1990年12月
J. Harbin Archit.& Civ. Eng. Inst
DC,1990
Toeplitz算子的指标
曹广福孙桂岚
数学教研室
卒文主要研究 Toeplitz算子及其算子组的指标
关词 Toeplit.算子; Fredholm算子;算子指标
懂得一点当代数学的人都知道,指标瑆论在数学的许多分支特别是算子理论中有着
滦刻的作用,利用指标理论可以将F: edholm算子进行分类(例如参见.G. Douglas
从拓扑的角度看,指标又与欧拉示性数有着密切的联系(参见B. Bleeker l门,L
Boutet De Monvel,F.H. Vasilesau0)。本文主要讨论 Toeplitセ算子及 Toeplitz算
子组的指标。
1 Toeplitz算子的 Fredholm指标
定义设Q是阶拟分算子,T是对应的 Toeplitz算子(参见L. Boutet De
Monvel and. Guillemin?),若 dim ker To, dim Coker To均有限,则称T是
Fredholm算子,其指标
IndT。 dia Ker T。- dim Coker T
需要注意的是,当T的阶m>0时,T一般不是有界算子,因此TQ是 Fredholm算
子是否等价于存在线性算子S使STQ-,TaS「均是紧算子就不是一个平凡的问题
限于篇幅,我们不准备在此讨论这个问题。我们貝想说明一点,即如果Q是无界算
子,尸是紧算千,则P未必是紧算子事实上,设Q是拟微分算d2,P是如下的
本文于1989年4月2日收到,
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算子:苦/∑4P∈H2(D),D是单位圆盘,则P2a,其中ス-0
比如ム,一、で,则P是家系、QPr-Va,则門ー
面Q=√nな1,显然 Opf→,即QP是无界算子.
基于上述原因,以下均假定T的阶m<而对n>0形将另作讨治
命题1设P是m阶拟微分算子,且o。(P)ー(如≠0则』ーx)P是紧算子,其
中。(P)是P的主象征,它属于空间S(7a2),π是正交投影:工2(9)→()
是蛋凸域。
证明:若mこ0,P是紧算子,面(1ーx)P是紧算子,下设m=0,令P(z)
o(马o),=のp,P是的定义函数,则P(2)h≠0设是以P(z)为其主象
征的拟徽分算子,则由于P(z)是2上光滑函数,从而Q一xQ是紧算子,又
P=2+RR紧的拟微分算子,于是(ー)P=(Iーれ)Q+(Jール)R是紧算子。
命题2设是m阶拟徽分算子,且。(Q)coy=0,则对应的 Toeplitセ算子是
景算子
证明:设K={?ヨ∈R,使(z,)∈ Suppo(Q)。令RR(?)2(2)
是算子,R一xkょ,xx是K的特征函数,如果K是集,则容易证明〖是紧算子,而
产 er Reff
xk(z)r了)
若K不是景集,则可以找一列S(T)中元(S,使S→ロ。(Q)(一致),且
P均是紧集而瓶S1-a。(Q)】P< C sup St-o(2)P从而I-
→0(2+o),由Q1紧知Q是素算子,这里Q:,是分别以S,om(2)为象征的拟
徽分算子,进而Ω是繁算子
:我们在证明中用劉了结论:若Tq是0阶 Toeplitセ算子,。是以o()为象征
的拟微分算子,则Ta-Ta。是紧算子,以下的证明中不再加以说明
定理12是0阶拟微分算子,且~a()(a,≠0则T是 Fredholm算子
证明:令q()=oo(9)(2o),o=Ip,則q()≠0レz∈?9,于是存在
C(?中元p,使l=1,从而由命题2知1ーP9对应的 Toeplitz算子是紧算子,又设P
是以p为主象征的拟分算子,容易知道TFTa=+T+K(其中K是某个紧算子)
且=I+T+K(K是另一景算子),故T0是 Fredholm算子。
注:证明中我们利用了结论:TPTa=Tna+TR,R是-1阶拟徽分算子。也可以利
用题1证明该定理,事实上,我们有恒等式
IーxP=IーxQP+ェ(I-m)P
由命1知(Iーx)P是紧算子。
定理2设Ω,P均为0阶微分算子,且o(Q)?a(P)rou)≠0,令r=
cn(Q),(P),R是以r为主象征的拟微分算子,则T,Tで,TR均是 Fredholm算子,且
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Ind Tx=Ind T,+Ind@
证明:由定理1立知T,T,TR均是 Fredholm算子,又由定理1的注知
Ind ( To T)=ind g
而
QP=「eSa。(QP)a()d+Kx(K是算子,u(F()
十K
=(era()d+K=RxtK(K是紧算子
故 Ind T=ndT,进而
Ind To +Ind T, =Ind Tg
定理3设P,Q是0阶拟徽分算子,且o(P)r(ay=a。(2)rtan)≠0则
P-T是紧算子,且 ind TP=- Ind To
证明:令r=。(P)-。(Q),R是以r为主象征的拟徽分算子,则由命题2立
知了x是紧算子,面T=T-TQ+KK是某个紧算子,故-TP-TQ是紧算子?另
方面,由定理1知TP,T是 Fredhoim算子,由指标的紧扰効不变性知 Ind Ip
由指的问伦不变性以及定理1可以得到如下的定理
定理4设Q,P是0阶拟微分算子,若存在连续函数z0,1]xで-C使对
每个t∈[0,り有h(t…り∈S(9)且关于是0阶齐次的,若
h
(ち2を)チりマ(っま)*(n),hい=σ。(Q),h1=o。(
则7れ是 Fredholm算子,且
Ind Tr*ndtp =Ind
其中?是以h为主象征的擻微分算子。
定理5设P是0阶拟微分算子,且。(P)ra≠0若02是单连通的,则
Ind T,=0
证明:设P(2)=oo(P)(スの),则P(z)≠0.由于T=T+Ta;R是1
阶拟微分算子,故而只要证明 Indt=0;然而?单连通,敬存在2上莲续函数
),使P(z)=cxp(a(2z),将q(z)调和扩张到上,记为ん,令
h(しz)=P(2)·exp(-h(x))(0くtく
则(02)=p(2),み(1,2)=1+I(),1(2)a=0.故(.=I+Tcn,从
而ndTa(.a=0,由同伦不变性知d7=0
注: Boutet De Mone and Victor Guillemintり证明:若P是>0阶自伴找
分算子,则TP的谱是一个高放集,且以+∞作为唯一的染点。我们知道,若P是
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