外测数据的最优节点样条多项式滤波算法.pdf

《自动化技术与应用》2013年第32卷第11期
通信与信息处理
Communication and Information Processing
外测数据的最优节点样条多项式滤波算法
李亚钊,张亚
(中国电子科技集团第28研究所,江苏南京210007)
摘要:本文在分析多项式最优线性滤波器性能和算法局限性的基础上,提出了基于最优节点的样条多项式滤波方法,并通过仿真实
验证明了最优节点样条多项式滤波算法具有更好的滤波效果。
关键词:多项式;样条;节点
中图分类号:TP274文献标识码:A文章编号:1003-7241(2013)1-0052-04
A Polynomial-spline Filter Algorithm Based on Optimal
Nodes of Trajectory Measurement
Ya-zhao、 ZHANG Ya
(The 28" Research Institute of China Electronics Technology Group Corporation, Nanjing 210007 China)
Abstract: Based on analyzes the performance of the polynomial optimal filter, and points out the deficiencies, a polynomial-spline
method based on optimal nodes is proposed, and through experiments to verify the efficiency of the algorithm, the result
of simulation shows that the algorithm proposed has better filter performance
Key words: polynomial; spline; node
1引言
更好的逼近精度,允许更多的观测点参与平滑,有更好
由于种种原因,外测系统的观测数据总含有随机的滤波效果。
误差,必须通过相应的平滑和滤波处理以减小随机误
差的影响。多项式最优线性滤波器是最常用的滤2外测数据的滤波平滑方法
波方法,其滤波效果受拟合阶数k、滤波点数N和采2.1多项式最优线性滤波器
样频率f影响。为了降低随机误差的影响,拟合多项
般将输入观测数据x()可分解成两部分,即
式的阶数越低越好,观测数据的总平滑点数越多越
x(r)=p()+E()
好,然而输人观测数据的真实信号用低阶多项式近似
式中p()是真实信息(严格的说,可能还含有系统
描述时又会造成严重“失真”,工程上称为方法误差,或误差),并可由一个k阶多项式来描述。E()是平稳零均
称截断误差。另外在一定的采样频率f下,参与平滑的值的白噪声,即
观测点数N越多,则总的平滑区间T越长,因此需要用
EE(D)=0
一个较高阶多项式来描述。为解决这一矛盾,本文提出
2 t=t
EIe(r)e(て)=?
了基于最优节点的样条多项式的滤波方法,通过寻找最
0t≠て
优内分节点,对观测数据分段平滑,仿真表明在相同拟
用一组时间函数的正交多项式族
合阶数的情况下,最优节点的样条多项式对观测数据有
Pの)j=0,1.2.}的线性组合来表示p(),即
p()=∑aP()
收稿日期:2013-03-14
52 I Tediquesof Automaion &Applications
通信与信息处理
《自动化技术与应用》2013年第32卷第11期
Communication and Information Processin
由于输入的N个观测数据是等时间间隔的离散采
[pN+丁
样值,即な=b。+h,则式(1)改写为
(11)
h21s(N,)
x,=Pp(い1)+e(1)
a1P,(1)+e(1)
方差比为:
2(N,x,L,k)=
p(N+a)
系数α的最小二乘估计a,可通过下式的残差平方
h ii s(w, i
(12)
和为最小而得,即
由上述方差比公式可以得到如下结论
Q=∑oP()-x=min
(1)当N,a,L和T固定时,方差比2随拟合多项
式阶数k的增大而増大;
由极值原理,解上式可得
(2)当求导的阶数L等于拟合多项式阶数k时,不
P(1)
论是平滑、滤波或预测,滤波输出的方差都是常值,即
此时2与无关
其中
(3)当L、N、x和k不变时,2随T的增加按
IDI(N
2L+1)次方下降
=∑p(
(4)当L、k、X、T不变时,方差比2随采样频
(2j)!(2j+1)!
率f的增加而按比例下降;
将(7)带入(4)中,得到x()的最优线性估计(r)为
xP(1)
(5)当a≈、N
时(即对观测数据滤波进行中
∑
心平滑),求导的阶数L比拟合多项式的阶数低一阶时
对(8)式两端求L阶微商,x()在1=N+x处的L中心平滑输出数据的随机误差最小。
阶微商的最优线性无偏估计为:
根据结论(4),可以知道为达到更好的滤波效果,增
x(の=立のN+2
加滤波窗口T是较为简单有效的方法,然而,在多项式
阶数k一定的情况下,输人观测数据的增多会导致截断
p, (i)p(N+a
误差的增大,而要减小截断误差,又必须采用较高阶数
Ls(N,?称の为正交多的多项式,根据结论(1),方差比2随拟合多项式阶数k
项式滤波的权系数。
的增大而增大,为解决这一矛盾,本文提出了最优节点
的样条多项式滤波算法,通过合理的选择数据段的内分
因此在t=N+时刻L阶微商的正交多项式最优点,在相同拟合阶数的情况下,大大减小截断误差。
滤波的估值为:
2.3最优节点样条多项式滤波方法
N+0
考虑区间[a,b],称
其中α为整数。<0时,称为平滑;α=0时,称为
fN"(,T")=a+a+…+axr^+∑an(-7)y
滤波;x>0时,称为预测或外推。
为[a,b]上的具有M个内节点的N次多项式样条函
2.2多项式最优线性滤波器性能分析
数2,?,其中a由式(9)可知,多项式最优滤波器的表达式与平滑总
数的M个内节点
点数N,采样点间隔h、平滑区间T、多项式拟合阶数k
其中
和微分阶数L有关,具体关系分析如下:
t>0
设输人观测数据的随机误差σ为白噪声,{P(の)}
0.t<=0
为一个正交多项式族,滤波后方差为O。,则由式(9
设y(t)在n个时刻有采样数据{yて),i=12.,n吗
可得
a<1<2…n=b。由此可以获得一个离散数据模型:
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