任意形状覆盖的数值流形方法初步研究.pdf

第30卷第12期
长江科学院院报
Vol 30 No 12
2013年12月
Journal of Yangtze River Scientific Research Institute
Dec. 20 1
DO:10.3969/.is9.1001-5485.2013.12.017
2013,30(12):91-96
任意形状覆盖的数值流形方法初步硏究
苏海东,祁勇峰,龚亚琦,颉志强,崔建华
(长江科学院材料与结构研究所,武汉430010)
摘要:在前期研究部分重叠的矩形覆盖基础上,首次提出基于任意形状覆盖的数值流形方法,其特点是:独特的数
学覆盖形式,即任意形状的覆盖+条形的覆盖重叠区域;以独立覆盖为主的分析方式;单位分解函数表述的独特性
及严格的插值性。对此方法展开初步研究,给出任意形状覆盖的基本形式,以及基于完全重叠覆盖和自由度之间
约束关系的实现方法,算例分析初步验证了该方法的有效性。
关键词;数值流形方法;任意形状覆盖;部分重叠覆盖;单位分解
中图分类号:TB115;TV311文献标志码:A
文章编号:1001-5485(2013)12-0091-06
迄今为止,绝大多数流形法研究采用有限元网
1研究背景
格(如矩形或三角形)作为数学网格,与某个有限
元结点相连的所有网格构成一个局部数学覆盖,在
早在1991年,我国留美学者石根华博士首先将此覆盖上定义局部覆盖函数,有限单元的形函数作
现代数学中的流形思想引!入到数值计算中,形成了为权函数。以下称这种流形法为常规流形法,其重
数值流形方法"(以下简称流形法),该方法具有以要特点是:每个有限单元正好就是其几个结点上的
下特点2
数学覆盖的共同区域,或者说,这几个覆盖在有限单
(1)数值解的插值区域与实际物理区域分离。元的区域内完全重叠,各覆盖没有自己的独立区域,
流形法引入2套覆盖体系,其一是数学覆盖(又称笔者称之为完全重叠的数学覆盖。研究表明,采用
为数学网格),用于构造物理场的近似解;其二是物完全重叠覆盖的常规流形法具有以下缺陷:
理网格,表示材料物理边界,用于定义积分区域。这
1)方程组的线性相关问题。在采用高阶多项
2套覆盖体系相互独立,只要求前者在空间上完全式覆盖函数情况下,流形法的线性相关问题表现
包容后者,这样,数学网格就不必满足材料边界的要为线性方程组的解(即多项式系数)存在但不唯一
求,数学网格内的材料(被称为“流形元”)可以仅占此问题源于权函数的1阶多项式与局部覆盖函数中
网格的部分区域。
1阶基函数的重叠。
(2)流形法的2套覆盖体系将求解域划分成有
(2)网格问题。既然采用了有限元网格,就难
限个相互重叠的集合,称为物理覆盖。在各个覆盖以摆脱网格划分的问题,虽然“网格不必满足物理
上定义局部覆盖函数,通过权函数联系起来进行加边界”的特性已使流形法的前处理比有限元法方便
权平均得到整个求解上的总体场函数。
多了,但为了保证局部区域(如结构分析中的裂纹
(3)局部覆盖函数可以有多种选择,如目前最尖端附近)的计算精度而在所有区域采用细密的均
常用的多项式级数,或其它类型的级数甚至是解析匀网格是不经济的,需考虑局部加密网格,这样就仍
解级数。随着级数项数的增加及阶次的提高(即高然存在大、小网格过渡的问题。
阶流形法),计算精度得以提高。在局部覆盖函数
石根华博土指出,目前的流形法只是一个初级
为多项式级数且权函数也能用多项式表示的情况版本。从2011年开始,在石根华博土的建议下,笔
下,流形法采用单纯形精确积分法,将任意形状的复者开展了新型流形法的研究工作,即部分重叠的矩
杂积分区域分解为有向单纯形,分别解析积分后求形覆盖的研究5-?。该方法采用以矩形独立覆盖为
其有向和。
主的分析方式,独立覆盖之间用较小的条形重叠区
收稿日期:2013-07-04;修回臼期:2013-09-4
基金项目:中央级公益性科研院所基本科研业务费项目(CKS2013031, CKSPO21002)
作者简介:苏海东(1968-),男,湖北武汉人,教授级高级工程师,博士,主要从事水工结构数值分析工作和计算方法研究,(电话)027
82829754(电子信箱)suhd@mail.clerk.cn
长江科学院院报
2013年
域保持覆盖的连续性。与以往的“完全重叠覆盖”间建立联系的不可缺少的工具。
相对应,笔者称之为“部分重叠覆盖”。前期研究表
将单位分解思想应用于数值计算,表述为
明,该方法具有以下优点。
采用一些重叠的分片区域2覆盖整个计算域2,在
(1)解决了常规流形法的线性相关问题:在覆每片2上定义局部近似函数V,再加上在2上非
盖的独立区域内,局部覆盖函数是线性无关的级数,零的单位分解函数q?,从而构成总体近似函数:
仅在覆盖之间较小的重叠区域存在对覆盖函数的加
权,因此,线性相关性即使仍存在也会减弱很多,有
利于方程组的快速迭代求解
r式中:n为覆盖数,q须满足:
(2)适合在局部区域应用解析解:在局部区域
(2)
的独立覆盖中可以采用特殊的覆盖函数以适应物理
场的局部特征,比如在裂尖附近采用特殊的解析解
常规流形法中将局部覆盖函数联系起来的权函
级数,这样就能将数偵解法与局部解析法协调起来数实际上就是单位分解函数。
进行联合求解。
在数学流形中,覆盖形状可具有任意性,覆盖之
(3)覆盖加密方便:笔者在文献[6]中提出对同一般不是完全重叠的。如图1(a)所示,以平面上
矩形的独立覆盖进行覆盖加密以提高局部计算精度3个任意形状的独立覆盖为例,它们只是部分重叠
的简便方法,包括重叠覆盖的加密方式和部分重叠
见图中的白色区域)。然而在这种情况下,单位分
覆盖的加密方式,这种大、小覆盖间的过渡方式是完解函数很难做到完全的插值性,即:在某个覆盖的独
全协调的。
立区域内(图中某一彩色部分),有
但上述流形法仍存在本质边界条件施加的问
3
题。由于物理边界与网格不匹配,流形法的本质边且在覆盖的过渡区域(图中的白色区域),p1和9
界条件一般通过罚函数法施加。这并非是最佳选等单位分解函数满足式(2)。举个反例,如图1中2
择,因为罚系数的取值对计算精度和计算稳定性都个盖的交点A,2和均等于1。笔者认为,在某
有一定影响,取值太小会使约束不足,取值太大又会种意义上正是出于这个原因,以往的流形法没有采
影响方程组性态。另外一个重要问题是,矩形覆盖用更灵活多变的数学覆盖,而不得不借用有限元网
对于复杂结构而言并不方便,特别是三维问题,比如格的覆盖形式。
具有复杂走向的三维裂纹,用规整的长方体去覆盖
针对上述问题,木文提出任意形状覆盖的条形
肯定没有沿着裂纹走向的不规则覆盖更合适。
连接方式,如图1(b)所示。在覆盖的条形重叠区域
因此,本文进一步发展部分重叠覆盖的思路,应内,满足上述插值性要求的单位分解函数很容易
用基本的数学流形思想,提出基于任意形状覆盖的用数值方式严格表述(见下文),图中的点A也变成
数值流形方法,简称任意形状覆盖流形法。
了2个点以便于≌1和9的过渡。
2任意形状覆盖流形法的基本思想
流形?是现代数学中的重要课题,其基本思想
大致上就是将有限个相对简单的局部拓扑结构用相
容的方式黏合成整