重庆市2019年中考数学实现试题研究-新定义阅读理解题题库.doc

新定义阅读理解题 1.阅读下列材料，解答下列问题： 材料一：一个三位以上的自然数，如果该自然数的末三位表示的数与末三位之前的数字表示的数之差是11的倍数，我们称满足此特征的数叫“网红数”.如：65362，362-65=297=11×27，称65362是“网红数”. 材料二：对任意的自然数p均可分解为p=100x+10y+z（x≥0，0≤y≤9,0≤z≤9且想，x，y，z均为整数），如：5278=52×100+10×7+8，规定：G（p）= . （1） 求证：任意两个“网红数”之和一定能被11整除； （2） 已知：s=300+10b+a，t=1000b+100a+1142（1≤a≤7,0≤b≤5，且a、b均为整数），当s+t为“网红数”时，求G（t）的最大值. （1） 证明：设两个“网红数”为，（n，b分别为，末三位表示的数，m，a分别为，末三位之前的数字表示的数）， 则n-m=11k1，b-a=11k2， ∴+=1001m+1001a+11（k1+k2）=11（91m+91a+k1+k2）. 又∵k1，k2，m，n均为整数， ∴91m+91a+k1+k2为整数， ∴任意两个“网红数”之和一定能被11整除. （2） 解：s=3×100+10b+a，t=1000（b+1）+100（a+1）+4×10+2， S+t=1000（b+1）+100（a+4）+10（b+4）+a+2， ①当1≤a≤5时，s+t=， 则-（b+1）能被11整除， ∴101a+9b+441=11×9a+2a+11b-2b+40×11+1能被11整除， ∴2a-2b+1能被11整除. ∵1≤a≤5，0≤b≤5， ∴-7≤2a-2b+1≤11， ∴2a-2b+1=0或11， ∴a=5，b=0，∴t=1642，G（1642）=17， ②当6≤a≤7时，s+t=， 则-（b+2）能被11整除， ∴101a+9b-560=11×9a+2a+11b-2b-51×11+1能被11整除， ∴2a-2b+1能被11整除. ∵6≤a≤7，0≤b≤5， ∴3≤2a-2b+1≤15， ∴2a-2b+1=11， ∴，， ∴t=2742或3842，G（2742）=28，G（3842）=39， 综上，G（t）的最大值为39. 2.若将自然数中能被3整除的数，在数轴上的对应点称为“3倍点”，取任意的一个“3倍点”P，到点P距离为1的点所对应的数分别记为a，b.定义：若数K＝a2＋b2－ab，则称数K为“尼尔数”．例如：若P所表示的数为3，则a＝2，b＝4，那么K＝22＋42－2×4＝12；若P所表示的数为12，则a＝11，b＝13，那么K＝132＋112－13×11＝147，所以12，147是“尼尔数”． (1)请直接判断6和39是不是“尼尔数”，并且证明所有“尼尔数”一定被9除余3； (2)已知两个“尼尔数”的差是189，求这两个“尼尔数”． 解：(1)6不是尼尔数，39是尼尔数． 证明：设P表示的数为3m，则a＝(3m－1)，b＝(3m＋1)， K＝(3m－1)2＋(3m＋1)2－(3m－1)(3m＋1)＝9m2＋3， ∵m为整数，∴m2为整数， ∴9m2＋3被9除余3； (2)设这两个尼尔数分别是K1，K2，将两个“尼尔数”所对应的“3倍点数”P1，P2分别记为3m1，3m2. ∴K1－K2＝9m12－9m22＝189， ∴m12－m22＝21， ∵m1，m2都是整数， ∴m1＋m2＝7，m1－m2＝3， ∴， ∴. 3.若在一个两位正整数 N 的个位数字与十位数字之间添上数字 2 ，组成一个新的三位数，我们称这个三位数为 N 的“诚勤数”，如 34 的“诚勤数”为 324 ；若将一个两位正整数 M 加 2 后得到一个新数，我们称这个新数为 M 的“立达数”，如 34 的“立达数”为 36. (1)求证：对任意一个两位正整数 A ，其“诚勤数”与“立达数”之差能被 6 整除； (2)若一个两位正整数 B 的“立达数”的各位数字之和是 B 的各位数字之和的一半，求 B 的值. 解：（1）设A的十位数字为a，个位数字为b， 则A＝10a+b，它的“诚勤数”为100a+20+b，它的“立达数”为10a+b+2， ∴100a+20+b-（10a+b+2）＝90a+18＝6（15a+3）， ∵a为整数， ∴15a+3是整数， 则“诚勤数”与“立达数”之差能被6整除； （2）设B＝10m+n，1≤m≤9，0≤n≤9（B加上2后各数字之和变小，说明个位发生了进位）， ∴B+2＝10m+n+2， 则B的“立达数”为10（m+1）+（n+2-10）， ∴m+1+n+2﹣10=（m+n）， 整理，得m+n＝14， ∵1≤m≤9，0≤n≤9， ∴、、、、， 经检验：77、86和95不符合题意，舍去， ∴所求两位数为68或59． 4．一个正偶数k去掉个位数字得到一个新数，如果原数的个位数字的2倍与新数之和与19的商是一个整数，则称正偶数k为“魅力数”，把这个商叫做k的魅力系数，记这个商为F（k）．如：722去掉个位数字是72，2的2倍与72的和是76，76÷19=4，4是整数，所以722是“魅力数”，722的魅力系数是4，记． (1)计算：； (2)若、都是“魅力数”，其中，(0≤a≤9，0≤b≤9，0≤c≤9，a、b、c是整数)，规定：．当时，求的值． 解：（1）∵30+2×4=38，38÷19=2，∴F(304)=2. ∵205+2×2=209,209÷19=11， ∴F（2025）=11. ∴F（304）+F（2052）=13； （2）∵m=3030+101a=3000+100a+30+a， ∴F（m）===15+. ∵m是“魅力数”， ∴是整数. ∵0≤a≤9，且a是偶数，∴a=0,2,4,6,8. 当a=0时，=不符合题意. 当a=2时，=不符合题意. 当a=4时，=不符合题意. 当a=6时，=不符合题意. 当a=8时，==6符合题意. ∴a=8，此时m=3838，F（m）=F（3838）=6+15=21. 又∵F（m）+F（n）=24， ∴F（n）=3. ∵n=400+10b+c， ∴F（n）==3， ∴b+2c=17， ∵n是“魅力数”，∴c是偶数， 又∵0≤c≤9，∴c=0，2,4,6,8. 当c=0时，b=17不符合题意. 当c=2时，b=13不符合题意. 当c=4时，b=9符合题意.此时，G（m，n）===. 当c=6时，b=5符合题意.此时，G（m，n）===. 当c=8时，b=1符合题意.此时，G（m，n）===0. ∵ ＞＞0， ∴G（m，n）的最大值是. 5.已知一个正整数，把其个位数字去掉，再将余下的数加上个位数字的4倍，如果和是13的倍数，则称原数为“超越数”．如果数字和太大不能直接观察出来，就重复上述过程．如：1131：113+4×1＝117，117÷13＝9，所以1131是“超越数”；又如：3292：329+4×2＝337，33+4×7＝61，因为61不能被13整除，所以3292不是“超越数”． （1）请判断42356是否为“超越数”　 　（填“是”或“否”），若+4c＝13k（k为整数），化简除以13的商（用含字母k的代数式表示）． （2）一个四位正整数N＝，规定F（N）＝|a+d2﹣bc|，例如：F（4953）＝|4+32﹣5×9|＝32，若该四位正整数既能被13整除，个位数字是5，且a＝c，其中1≤a≤4．求出所有满足条件的四位正整数N中F（N）的最小值． 解：（1）否， 4235+4×6＝4259，425+4×9＝461，46+4×1＝50，因为50不能被13整除，所以42356不是超越数. ∵+4c＝13k， ∴10a+b+4c＝13k， ∴10a+b＝13k﹣4c， ∵＝100a+10b+c＝10（10a+b）+c＝130k﹣40c+c＝130k﹣39c＝13（10k﹣3c）， ∴＝10k﹣3c； （2）由题意得d＝5，a＝c， ∴N＝1000a+100b+10c+5， ∵N能被13整除， ∴设100a+10b+c+4×5＝13k， ∴101a+10b+20＝13k，且a为正整数，b，k为非负整数， 1≤a≤4， ∴a＝2，b＝9，k＝24 或a＝3，b＝8，k＝31，或a＝4，b＝7，k＝38， ∴F（N）＝|2+25﹣18|＝9，或F（N）＝|3+25﹣24|＝4，或 F（N）＝|4+25﹣28|＝1， ∴F（N）最小值为1． 6.一个两位正整数，如果满足各数位上的数字互不相同且均不为，那么称 为“启航数”，将的两个数位上的数字对调得到一个新数.把放在的后面组成第一个四位数，把放在的后面组成第二个四位数，我们把第一个四位数减去第二个四位数后再除以11所得的商记为，例如：时，，. （1）计算 若为“启航数”，是一个完全平方数，求 的值； （2）为“启航数”，其中（1≤b≤a≤9，1≤x、y≤5，且为整数） 规定：，若能被整除，且，求的最大值. 解：（1）F（42）=162， 设m=（1≤p≤q≤9，且p、q为整数）， 则， ∵完全平方数，∴为完全平方数， ∵1≤p≤q≤9，且p、q为整数， ∴0＜p-q≤8，∴， ∴F（m）=81或324； （2）由题意知：s=，t=（1≤b≤a≤9,1≤x、y≤5，且）， ∴，， ∵能被整除，∴为整数， 又∵1≤b≤a≤9，∴0＜a-b≤8， ∴，∴， ∴s=92或81. 又∵， ∴81（a-b）+81（x-y）-81y=162， ∴2y=x+5， ∵1≤x，y≤5且， ∴， ∴t=13 或34， ∴，K（92，34）=，， Kmax=. 7.若一个三位数，其个位数加上十位数等于百位数，可表示为t＝100（x+y）+10y+x（x+y≤9），则称实数t为“加成数”，将t的百位作为个位，个位作为十位，十位作为百位，组成一个新的三位数h．规定q＝t﹣h，f（m）＝，例如：321是一个“加成数”，将其百位作为个位，个位作为十位，十位作为百位，得到的数h＝213，∴q＝321﹣213＝108，f（m）＝＝12． （1）当f（m）最小时，求此时对应的“加成数”的值； （2）若f（m）是24的倍数，则称f（m）是“节气数”，猜想这样的“节气数”有多少个，并求出所有的“节气数”． 解：（1）∵f（m）＝， ∴当f（m）最小时，q最小， ∵t＝100（x+y）+10y+x=101x+110y，h＝100y+10x+x+y＝101y+11x， ∴q＝t﹣h＝101x+110y﹣（101y+11x）＝9y+90x，且1≤y≤9，0≤x≤9，x、y为正整数， 当x＝0，y＝1时，q＝9，此时对应的“加成数”是110； （2）∵f（m）是24的倍数， 设f（m）＝24n（n为正整数）， 则24n＝，q＝216n， 由（1）知：q＝9y+90x＝9（y+10x）， ∴216n＝9（y+10x）， 24n＝y+10x，（x+y＜10） ①当n＝1时，即y+10x＝24，解得：x＝2，y＝4，则这样的“节气数”是24； ②当n＝2时，即y+10x＝48，解得：x＝4，y＝8，x+y＝12＞10，不符合题意； ③当n＝3时，即y+10x＝72，解得：x＝7，y＝2，则这样的“节气数”是72； ④当n＝4时，即y+10x＝96，解得：x＝9，y＝6，x+y＝15＞10，不符合题意； ⑤当n＝5时，即y+10x＝120，没有符合条件的整数解， 综上，这样的“节气数”有2个，分别为24，72． 8.在任意n（n＞1且为整数）位正整数K的首位后添加6得到的新数叫做K的“顺数”，在K的末位前添加6得到的新数叫做K的“逆