复数图像去噪算法的稀疏编码实现.pdf

第 27 卷 第 2 期 计算机辅助设计与图形学学报 Vol. 27 No.2 2015 年 2 月 Journal of Computer-Aided Design 修回日期：2014-06-10. 基金项目：国家自然科学基金(61103081); 国防科学技术大学博士生创新资助 (B110503). 郝红星(1987), 男, 博士研究生, CCF 学生会员, 主要研究方向为多媒体信息系统、虚拟现实、图像去噪及应用、图像 逆问题正则化问题; 吴玲达(1962), 女, 博士, 教授, 博士生导师, CCF 高级会员, 主要研究方向为多媒体信息系统、虚拟现实、复 杂系统构建与可视化技术、虚拟环境构建; 黄 为(1985), 男, 博士研究生, CCF 学生会员, 主要研究方向为遥感影像处理、大规模 影像数据分类. 复数图像去噪算法的稀疏编码实现 郝红星 1), 吴玲达 1,2), 黄 为 1) 1) (国防科学技术大学信息系统与管理学院 长沙 410073) 2) (装备学院电子信息装备体系研究国防科技重点实验室 北京 101400) () 摘 要: 针对复数图像系统所获取的图像具有噪声的问题, 将稀疏编码理论扩展到复数域中, 并且运用该理论提出 一种复数据的降噪算法. 该算法采用复数域的正交匹配追赶算法对图像进行稀疏编码, 利用自适应方式从待训练含 噪图像样本中获取表示词典, 并指出最终图像的降噪效果与表示的稀疏度有关. 实验结果表明, 文中算法对于复数 图像取得了很好的降噪效果, 尤其是可以有效地提高复数相位的降噪信噪比. 关键词：稀疏编码; 复数图像系统; 图像去噪; 正交匹配追赶算法 中图法分类号：TP391 Denoising of Complex Valued Images by Sparse Representation Hao Hongxing1), Wu Lingda1,2), and Huang Wei1) 1) (College of Information System and Management, National University of Defense Technology, Changsha 410073) 2) (National Laboratory of Electronic Information Equipment System , Equipment Academy, Beijing 101400) Abstract: The data acquired from many complex valued image systems are always disturbed by noise. The pro- posed denoising method of complex valued numbers is based on the extended sparse representation. The algo- rithm extends orthogonal matching pursuit(OMP) to the complex domain to do the coding and learns the adaptive dictionary from the patches extracted from the noisy image. We reach the conclusion that the denoising results are related to the sparsity of the representation. The experimental results on the real data show that the proposed algo- rithm achieves very good results, especially in the peak signal to noise ratio for the phase of the complex num- bers. Key words: sparse representation; complex valued image system; image denoising; orthogonal matching pursuit 近年来, 稀疏编码问题应用于信号的恢复成 为一大热点, 其依据是现实中实值图像或者信号 可以运用合适的词典来进行稀疏表示. 这种特性 源于真实图像或者信号具有较高的自相似性. 例 如给定一个图像块, 很容易在图像的不同位置和 尺度下找到相似的图像块. 相关研究包括从初始 的傅里叶变换、 余弦变换等将信号从时域变换到带 宽有限的频域, 再到后来小波变换1和压缩传感理 论2, 将信号转换到可以进行紧致表示的空间中进 行处理. 稀疏编码理论可以应用于图像恢复、 图像重建 以及图像分类问题中, 其中应用最广泛的为图像 第 2 期 郝红星, 等: 复数图像去噪算法的稀疏编码实现 265 去噪问题. 最初, 小波系数的稀疏性被研究并且提 出了经典的系数收缩算法3-4; 为了满足变换不变 性的原则, 从而使得词典具有更好的适应性, 又提 出了超完备词典(如 Curvelet 5, Contourlet 6等)的 概念. 与此同时, 匹配追赶算法7和基础追赶降噪 算法8将运用超完备词典的稀疏编码技术应用于 图像降噪问题, 相继出现了一系列结果优良的图 像降噪算法. 文献9利用超完备多尺度方向基的稀疏编码 的统计模型进行数字图像的降噪, 将相邻位置和 尺度的编码建模为独立随机变量的乘积, 其算法 基于 8 比特灰度图像, 文献10基于相同的思想提 出 Ridgelet 变换和 Curvelet 变换, 并且用于对含有 白噪声的标准灰度图像的去噪操作, 获得了非常 好的实验结果; 其中 Ridgelet 变换利用小波超完备 基得到频域的紧支撑, 而 Curvelet 变换将 Ridgelet 变换应用于信号合成过程, 并且运用小波滤波方 法进行带宽限制. Eslami 等11提出差分脊波变换算 法用于解决变换不变性的子采样滤波, 通过将一 维小波变换中算法扩展到一般情况并改进方向滤 波来滤除噪声, 同时还对算法的效率进行了优化. 基于基础追赶降噪问题, Matalon 等12提出一种结 合频域的独立性以及图像域的误差, 得到降噪的 一般性目标函数, 它可以应用于任何类小波的变 换中. 上述算法均是基于固定的数据词典的稀疏表 示, 为了进一步自适应于需要降噪的图像, 一些学 者开始致力于自适应训练词典的降噪问题. Elad 等13 提出基于奇异值分解的算法; 其在词典训练中每 一步包括块坐标松弛算法进行稀疏编码, 然后运 用特征值分解方法对词典的一个元素进行更新, 并将该方法应用于图像的去噪的问题, 得到了比 较好的降噪结果. 相同的算法被改进且应用于彩 色图像的去噪问题中14, 其考虑了彩色分量之间 的相关性并且可以应用于非均态噪声的降噪. 为 了提高词典的训练效率, 在线词典训练算法15在 每一步迭代中仅仅使用训练数据集中的一个元素 或者子集, 它为实时获取自适应词典提供了可能. 特别对于图像降噪问题, 该词典训练算法的提出 使得稀疏表示的词典能够自适应于含噪图像, 进 而最大限度地减少稀疏表示误差. 国内对于通过稀疏表示的降噪算法研究也较 多, 孙少杰等16提出一种基于非线性小波变换阈 值法的降噪方法, 在小波域对功能磁共振图像进 行降噪. 复合降噪算法17运用了小波的相邻相关 作为分离信号和噪声的工具; 文献18同样基于小 波变换的图像去噪, 但是其基于改进结构的 Cont- ourlet 变换对图像进行变换. 杨萌等指出基于自适 应超完备字典学习的降噪算法, 并且将其应用于 合成孔径雷达图像. 但是这些算法都是基于实数 图像的降噪. 文献20研究并实现了复数均值滤 波、圆周期均值滤波、圆周期中值滤波, 且比较了 算法的运算效率, 但是这些算法是复数域的简单 滤波算法. 目前图像降噪算法大多是实数域, 而对于复 数图像则分别对实部和虚部进行单独降噪, 但是 该算法未考虑实部和虚部之间的相关性. 在实际 应用中, 众多的图像数据是复数形式的, 例如干涉 合成孔径雷达图像、医学中的磁共振图像等等. 为 了解决这类图像的降噪问题, 本文提出基于稀疏 编码的复数图像降噪算法, 通过复数词典的实时 训练算法获取复数数据词典, 然后提出复数集的 稀疏编码算法. 本文算法将复数作为一个整体进 行降噪操作, 并对实际中的复数图像进行降噪, 从 实验结果可以看出, 本文算法能够有效地降低噪 声的影响. 1 噪声模型及降噪过程 复数图像的噪声模型与相应的图像系统的观 察模型相关, 本文假设对于一幅图像像素点其观 察值为 zxn=+ (1) 其中 x 为未含噪复数, IQ nnjn=+是复数值零均 值高斯循环白噪声且其方差为 2 (其中 I n和 Q n是 零均值独立高斯随机变量且其方差为 2 /2). 式(1) 是对磁共振图像、三维正弦光模式, 以及所有可以 通过高斯密度进行近似的具有泊松噪声的光学干 涉成像系统的很好的近似. 假设所处理的图像定义在 12 NNN=大小的 网格上, 定义 T ,1, i z iN=?z为观察图像块按照 特定顺序排列的列向量组成. 基于同样的机制, 定 义 T ,1,=? i x iNx为未含噪声复值图像, =n T ,1,=? i n iN为噪声复值图像. 基于以上这些定 义, 复值图像的估计问题是在已知观察复值图像 z 情况下, 估计复值图像 x 的过程. 266 计算机辅助设计与图形学学报 第 27 卷 在过去的十年中, 真实自然图像的稀疏冗余 表示吸引了很多学者和组织的兴趣, 成为研究热 点13-15. 图像的稀疏冗余表示能够对噪声进行抑 制, 例如基于傅里叶变换或者小波变换的低通滤 波算法3-4. 基于压缩传感的降噪算法的本质为运 用稀疏编码算法对自然实值图像进行降噪, 该类 算法的原理由于自然信号具有很强的自相似性, 因此其可以通过固定一组基的线性稀疏表示; 但 是噪声由于其各向同性特质并不能进行稀疏表示, 因此通过稀疏编码的方法能够抑制噪声. 本文第 4 节将通过理论详细分析降噪的结果与表示的稀疏 度相关性. 本文将该思想扩展到复数域中, 将复数 图像分割成小的互相重叠的图像方块, 每个图像 块所对应向量的通过稀疏编码方式进行降噪, 最 后将降噪后的图像块进行合并, 以最终形成降噪 结果. 本文的降噪过程包括图像块的分解、稀疏词 典的训练、基于稀疏表示对图像块进行降噪、降噪 后图像块的合并, 其过程如图 1 所示 图 1 降噪过程示意图 2 降噪算法 根据基于稀疏编码降噪的一般流程13, 对于 含噪图像 N ?z, 记图像块 m i? z包含大小为m m的矩形窗口中所有像素点, 其中心位于第 i 个 像素点. 相互重叠图像块的数目为 1 ( p NNm=+ 2 1)(1)Nm+. 记 m i? x为原始图像 x 中对应于第 i 个图像 块的对应的向量, m i? n为噪声图像 n中对应于 第 i 个图像块的对应的向量, 可以得到, iii =+zxn 1,. p iN=? 为了区分降噪结果与原始未含噪图像块, 记 ?i x为图像块对应向量 i x的降噪估计值并且 ? = ix + ii x; 其中 i 为第 i 个图像块的估计误差值. 如 果 i 的“大小”比噪声 i n的“大小”要小, 则提出 的降噪机制具有好的效果. 在本文中, 衡量随机变 量的大小采用的是二范数平方的期望, 即 2 2 E 和 2 2 i En. 为了从图像块的估计 ?i x(1, p iN=?)得到图像 x 的估计值, 首先定义选择矩阵 i M使得 ii =xM x (矩阵 i M每一行只有一个非零元素并且其值为 1), 定义矩阵 TTT