带测地线的NURBS曲面束的逆向设计.pdf

第2 9 卷第2 期 2 0 1 7 年2 月 计算机辅助设计与图形学学报 J o u r n a lo fC o m p u t e r - A i d e dD e s i g n & C o m p u t e rG r a p h i c s V b l 2 9 N o 2 F e b 2 0 1 7 带测地线的N U R B S 曲面束的逆向设计 张礼林1 ，2 ，孙，王国瑾1 ，2 ) + 1 ( 浙江大学数学学院杭州 31 0 0 2 7 ) 2 ( 浙江大学C A D & C G 国家重点实验室 杭州 3 1 0 0 5 8 ) ”( 绍兴职业技术学院理科教研室 绍兴31 2 0 0 0 ) ( w a n g g j z j u e d u c a ) 摘要：曲线曲面的N U R B S 表示适用于主流及普遍的C A D 系统对于给定的一条非均匀B 样条曲线，文中设计了 以其为公共测地线的曲面束，并给出一种N U R B S 表示的显式表达式及全套算法首先利用离散B 样条的性质以及B 样条的求导公式得到满足已知条件的参数曲面束表示；其次利用度量函数的任选性，推导出3 个度量函数与已知曲 线的F r e n e t 标架的乘积的B 样条表示；进一步，在度量函数的因子式中预先设置好准有理B 样条表示的一系列权因 子，因势利导地给出了曲面束的一族参数，可方便地实现对所需曲面的修改通过实例验证了文中算法的有效性和可行性 关键词：曲面束设计；离散B 样条；非均匀有理B 样条；测地线；F r e n e t 标架 中图法分类号：T P 3 9 1 4 1 I n v e r s eD e s i g no fN U R B SS u r f a c eP e n c i lw i t haG e o d e s i c Z h a n g L i l i n l ，2 ，3 a n dW a n gG u o j i n l ，2 + 1 ( S c h o o lo f M a t h e m a t i c a lS c i e n c e s , Z h e j i a n gU n i v e r s i t y , H a n g z h o u3 1 0 0 2 7 ) 2 ( S t a t e K e y L a b o r a t o r y o f C A D & C a Z h i a n g U n i v e r s i t y , H a n g z h o u3 1 0 0 5 8 ) 3 ( D e p a r t m e n to f S c i e n c e , S h a o x i n gV o c a t i o n a l T e c h n i c a lC o l l e g e , S h a o x i n g 3 1 2 0 0 0 ) A b s t r a c t ：N U R B Sc u r v e sa n ds u r f a c e sc a nb ea p p l i e di nt h el i n e a la n dp r e v a l e n tC A Ds y s t e m s I nt h i sp a p e r , a d e s i g no fs u r f a c ep e n c i lt h r o u g ht h eg i v e nn o n u n i f o r mB s p l i n ec u r v ea sg e o d e s i ci sc o n s t r u c t e d ，a n di t se x p l i c i t N U R B S Se x p r e s s i o na n di n t a c ta l g o r i t h ma r eg o t F i r s t ，u s i n gt h ec h a r a c t e ro ft h ed i s c r e t eB s p l i n ea n dt h ed e - r i v a t i v ef o r m u l ao fB s p l i n e ，t h ee x p r e s s i o no fs u r f a c ep e n c i lw i t hc o n s t r a i n ti sp r e s e n t e d N e x t ，u s i n gr a n d o m i c i t ) ro ft h em a r c h i n g - s c a l ef u n c t i o n s ，t h ep r o d u c t so ft h r e em a r c h i n g s c a l ef u n c t i o n sa n dt h eF r e n e tf r a m e so ft h e g i v e nC H I V eh a v eb e e np r e c i s e l yr e p r e s e n t e da st h eB s p l i n ef o r m s F u r t h e r m o r e ，p r e e s t a b l i s h i n gas e r i e so f w e i g h t si nt h ep r e r a t i o n a lB - s p l i n ee x p r e s s i o n sf o rt h em a r c h i n g - s c a l ef u n c t i o n s f a c t o r s ，w ei m p r o v et h eo c c a s i o na n dg i v eag r o u po ff a m i l y - p a r a m e t e r so ft h es u r f a c ep e n c i l I ti sc o n v e n i e n tf o ra d j u s t i n gt h es h a p e so ft h e r e s u l t i n gs u r f a c e s F i n a l l y , t h ee x a m p l e si nt h ee x p e r i m e n ts h o wt h a tt h ea l g o r i t h mi se f f i c i e n ta n da p p l i c a b l e K e yw o r d s ：d e s i g n i n go fs u r f a c ep e n c i l ；d i s c r e t eB s p l i n e ；N U R B S ；g e o d e s i c ；F r e n e tf l a m e 曲面逆向设计指对传统的几何计算反其道而 行之，并非对已知曲面求测地线，而是把已知曲线 作为潜在公共测地线来反求曲面束，使得曲面束 中每张曲面均以已知曲线为其测地线，从而有无 穷多张候选曲面可供用户挑选曲面逆向设计可 视为曲面造型的一部分，其理论和技术在现代工 业、信息产业、数字媒体业等领域有着广泛的应用 作为曲面逆向设计的一种，插值给定曲线的曲面 的构造，其思想最早可以追溯到C o o n s 超限插值边 界曲线的曲面生成算法卜2 1 ，而插值特征线的曲面 收稿日期：2 0 1 6 - 0 5 1 6 ；修回日期：2 0 1 6 0 7 1 2 基金项目：国家自然科学基金( 6 1 5 7 2 4 3 0 ) 张礼林( 1 9 7 6 一) ，男，硕士研究生，讲 师，主要研究方向为C A G D & C G ；王国瑾( 1 9 4 4 一) ，男，教授，博士生导师，论文通讯作者，主要研究方向为C A G D & C G 万方数据 2 9 6计算机辅助设计与图形学学报 第2 9 卷 构造的思想与方法却是1 1 年前才提出的【3 4 1 ，近年 来已成为C A G D 研究的一个热点问题这里的特 征线指的是测地线、曲率线和渐近线，这3 类特征 线是曲面上最重要的具有内蕴几何特征的曲线 5 】 传统微分几何中关于特征线的研究已相当成熟， 其理论的应用范畴是非常广泛的W a n g 等 3 1 ，Z h a o 等 6 】分别于2 0 0 4 年，2 0 0 7 年提出了以一条任意空间 曲线作为公共测地线的等参曲面束与有理曲面束 设计的构造思想及计算方法，并给出曲面插值已 知曲线作为测地线的充分必要条件此后，在这方 面涌现了几何设计的众多卓越研究 7 - 1 6 但因为它 们尚非标准的N U R B S 表示，所以还不完全且贴切 地适用于主流及普遍的外形C A D 系统，已有结果 尚未完成最终目标这是一个严峻而棘手的问题 本文从度量函数的任选性、离散B 样条的优越性 与B 样条化积为和的新特性出发，灵活地解决了 过测地线的曲面束方程中，F r e n e t 标架的根式化分 母与曲面束N U R B S 表示的有理化分母之间的尖锐 矛盾，并严谨地推导出度量函数组与已知曲线 F r e n e t 标架的乘积的B 样条表示；再进一步，因势 利导地把度量函数中预设的准有理B 样条的权因 子取定为曲面束的族参数，从而得出过一条已知 非均匀B 样条曲线并以其为测地线的N U R B S 曲面 的显式表达及完整算法 1 B 样条的乘积理论 首先扼要介绍离散B 样条的算法、2 个B 样 条乘积的节点构造方法和2 个B 样条乘积的算法， 这些预备知识 2 , 1 7 - 1 8 1 是本文中推理的基础 假设非递减节点向量f = T i ) ，t = t i ) ，且fct ， 则称口，女= 口f ，女f f 为k 阶离散B 样条，其表达及算 法如下： 算法1 离散B 样条算法 2 , 1 7 - 1 8 】 节点向量如上所设，且令 O t j ，女( f ) _ a j ，t f ，f ( f ) 2 吁，f ( 一1 ) a j ，女一1 ( f ) + ( 1 一哆+ 1 ，女，f ( 0 女一1 ) ) + 1 ，一1 ( f ) ，后2 ， 其中， q ，女( x ) 2 哆，女，( z ) = f ( x - r ) ( f ，+ H r j ) ，i fr ， o + H 1 0 ， 。t h e r w i s e 卜l , i fZ ：j R t i 。y 由算法1 司知： 1 ) 如果x = t i = t i + 1 = = t i + ，就是通常所 定义的在节点向量f 上的B 样条基函数，即 o t j ，k , r , t ( f ) 2 ，k ，f ( x ) ； 2 ) 若z _ ) 而且，若f “ t i + l f f + 女一1 0 ，J = t k + 1 ， 由文献 1 7 可知，欲构造2 个B 样条的乘积， 首先需定义如下2 个节点向量 定义1 已知节点向量t 和正整数k ，假设k l ，k ， 为2 个正整数，k l + k 2 1 = k ，记整数集I k 一1 = 1 ， 2 ，k 一1 ) ，在集合I k l 中取出k l - 1 个元素构成 集合P = p 1 ，P 2 ，P k l - 1 ) ，剩下的k 2 1 个元素构 成集合Q = g l ，9 2 ，q “一1 ) ，显然，Q = l k 一1 P 对于给定的i ，定义2 个节点向量分别为 t 。2 ，t i 一1 ，t i + n ，t i + 既一l ，t i + 女，t i + k + 1 ， ， t 2 = ，t i 一1 ，t i + g l ，t i + g t2 1 ，t i + k ，t i + k + 1 ，) 记7 = 露：，表示I k 一1 中所有含k l 一1 个元素 的子集构成的集