非线性振动讲义.pdf

记录非线性的现象和原因，记录求解非线性问题的计算方法 很多问题不实际算，是不会发现问题的 陈小飞，2009-10-16 目 录 Part1 非线性分析计算方法非线性分析计算方法 . 1 1. 线性振动一般解与典型非线性方程 . 1 2. 谐波平衡法求解非线性方程 . 2 3. Lindstedt-Poincare 改进摄动法求解非线性方程 . 4 4. 平均法求解非线性方程及稳定性分析 . 6 5. 多尺度法求解非线性方程 . 9 6. 参数振动问题求解 . 16 7. 高维系统约化问题 . 17 8. Hopf 分岔 . 26 9. Poincare 映射 . 27 Part2 基本概念与现象基本概念与现象 . 29 10. 基本概念 . 29 11. 非线性动力学近似分析方法涉及的基本现象 . 29 12. 稳定性的定义 . 30 13. 分岔问题 . 32 14. 中心流形约化 . 34 15. 奇异性理论 . 34 16. 混沌 . 36 1 非线性振动 Part1Part1 非线性分析计算方法非线性分析计算方法 能够求出精确解的非线性系统极少，一般使用数值方法计算。采用近似计算的方法大部分是针对 弱非线性系统。对于强非线性系统，首先需要求出与之相近，而又精确可积的非线性系统精确解，然后 对精确非线性解进行摄动，所导出的微分方程仍然需要借助数值方法求解。 1. 线性振动一般解与典型非线性方程 有阻尼自由振动系统 2 00 20 xxx 一般解： 0 2 0 sin1 t xAet 有阻尼受迫系统 22 000 2sinxxxBt 一般解： 0 2 102 sin1sin t xAetAt 取决于系统的初始条件，取决于系统阻尼比与固有频率和激励频率的关系，有 0 22 0 2/ arctan 1/ 稳态相应振幅与激励振幅的比值有 2 2 2 22 00 1 1/2/ A B 对方程( )( )( )coscosmx tcx tkx tFtkAt 变形为 22 ( )2( )( )cos nnn x tx tx tAt 通解通解cos()Xt，表响应对激励的滞后： 通解 X1 为： 2 002 00 0 2 cos nt n n d dd vxvx xet ，瞬态响应，逐步衰减。 特解 X2 为： ( ) it HAe ，稳态响应，实际上的激励和响应仅取实部，响应的频率是激励的频响应的频率是激励的频 率！率！ 222 22 2 222 2 22 cosarctancosarctan 1121 12 nn nnnn nn AA tt i 2 非线性振动 刘延柱、陈立群一书中主要的非线性方程式为： Van der Pol 方程 22 (1)0uuuu，主要研究自激振动 Mathieu 方程 2 (cos)0ut u，表示参数振动参数振动 Duffing 振子 23 0uuu，带有平方或立方非线性项 受外部激励的 Duffing 方程 23 2cos()uuuuFt 具有稳定极限环和慨周期运动以及混沌运动 223 2cos()uuuuuFt 2. 谐波平衡法求解非线性方程 谐波平衡法可以求解强非线性问题， 前提是观测到物理系统存在以谐波展开频率为频率的周期运动。 对任意周期为 2l 的函数 f(x)，若在-l, l上可积，则存在傅里叶系数 1 ( )cos l n l n af xx dx ll ， 1 ( )sin l n l n bf xx dx ll 此时有 0 1 1 ( )cossin 2 nn n nn f xaaxbx ll 。 若函数 f(x)不是周期函数， 则进行周期严拓， 此时有偶严拓 f(x)= f(-x)或奇严拓 f(x) =-f(-x)， 相应的， 则分别有 0 2 ( )cos l n n af xx dx ll ， 0 2 ( )sin l n n bf xx dx ll 此时偶函数 0 1 1 ( )cos 2 n n n f xaax l ，奇函数 1 ( )sin n n n f xbx l 。 对系统( , )( )xf x xF t，若观测到系统以若观测到系统以 为角频率的周期运动为角频率的周期运动，则略去激励的直流分量，可 改写激励为 1 ( )cos n n F tfn t ，其中 /2 0 2 ( )cos T n fF tn t dt T 由此可以设解为 0 1 ( )cossin nn n x tAAn tBn t 若无直流分量，且相位简化，可简化为 1 ( )cos n n x tAn t 对方程： 2 (1)0 xexxx，试使用谐波平衡法求解，设解 1 ( )cos n n x tAn t ，且根据根据 3 非线性振动 实际可能，将谐波取到实际可能，将谐波取到 3 倍频倍频：(根据实际情况略去无用的高阶项，但求解会存在不少问题！) 2 22 11 1 2222222 123 121323 coscos sin ( )coscos 2cos 3 2coscos22coscos32cos2cos3 nn nn n n xxexex x xxAn tA nn t xA nn t x tAtAtAt A AttA AttA Att 代入并展开得到 222 112233 2222323 2 131313231121 231 3 232 1231232 122232123 ()cos(4)cos2(9)cos3 33 ()sin 2222444 3 (2)sin2 222 AAtAAtAAt eA AeA AeA AeA AeAeA AeA eA AeAt eA A AeA A AeA eA AeAeA AeAeA A A 223332 2 132333112 123 2222 12312323231212 123 2222 2 13131312 12 3333 (3)sin3 222444 33 ()sin4 222222 33 ( 2224 t eA AeA AeAeAeAeA A eA AeAt eA A AeA A AeA AeA AeA AeA A eA A At eA AeA AeA AeeA A eA A 2 13 3 1231232 123 222 2 131323 23 22 2323 3 3 )sin5 4 3 ()sin6 222 33 ()sin7 224 3 ()sin8 22 3 sin9 4 A A t eA A AeA A AeA eA A At eA AeA AeA A eA At eA AeA A t eA t 从上式，将前 3 阶谐波系数为零，得到 2 11 2 22 2 33 2222323 2 131313231121 231 3 232 1231232 122232123 2 2 132 123 0 04 09 33 0 2222444 3 02 222 33 03 2 AA AA AA eA AeA AeA AeA AeAeA AeA eA AeA eA A AeA A AeA eA AeAeA AeAeA A A eA AeA eA AeA 23332 333112 33 22444 AeAeAeAeA A 上式解得 4 非线性振动 2222323 2 131313231121 231 2233 231231231231222 2 2233232 13233312112 3 11 1, 23 33 0 2222444 3 0 2222444 0 322212124 eA AeA AeA AeA AeAeA AeA eA AeA eA AeA A AeA A AeA A AeA AeAeA eA eA AeA AeAeAeA AeAeA A eA 可见其解中含有很多矛盾以及十分难于计算的项，因此，利用谐波平衡法求解非线性方程，一般因此，利用谐波平衡法求解非线性方程，一般 只取只取 1 次谐波近似次谐波近似。 3. Lindstedt-Poincare 改进摄动法求解非线性方程 将解和振动频率按小参数进行幂级数展开，有 2 012 xxxx 2 012 或者 222 012 1 对 duffin 系统， 23 0( )0 xxx，参考文章所述将对时间将对时间 t 的微分变成对的微分变成对t的微分的微分，建立了 原系统方程与 的关系（由此可以应用上述第 2 个展开式，并将系统固有频率通约），有 22 23223223 000 22 ()()()0 () d xd x xxxxxxx dtdt 取小参数的两次幂，忽略 3 次和 3 次以上小量，注意方程的变换方法注意方程的变换方法（） 22222 012012012 2234373223252623252 0012012010112120202 1 (333333) xxxxxx xxxxxxx xx xx xx xx xx x 化简，省去高阶小量，得到 2222322 01 0121 12001201 0 (3)xxxxxxxxxxx x 于是，得到各阶近似方程组： 00 0 xx 3 111 00 xxxx 2 221 12001 3xxxxx x 取各个方程的初始条件为 001212 (0),(0)(0)(0)(0)(0)0 xA xxxxx 上述 3 个方程依次求解，方程 1 的解 0 cosxAt，代入方程 2 ，得到 3 333 1110011 3coscos33 coscoscos3 444 ttA xxxxAtAAAtt 5 非线性振动 为避免久期项避免久期项的产生，有 2 1 3 4 A 而对方程 2 求解，采用待定系数法，设解为 1 0 cos n n xBn t ，代入方程 2，注意对 t 求导，有 3 2 0 coscoscos3 4 nn n A Bn tn Bn tt 有 3 3 cos3 32 A Bt，根据初始条件为零，有 3 1 cos3 32 A Bt 故， 33 1 coscos3 3232 AA xtt 注意，上式中含有频率上式中含有频率 的项的项。将解得的两个解代入方程 3， 22 5555 32 2 5555 2 5555 2 32733 coscos3coscoscos3cos 1281283232 327331 cos2 coscoscos33coscos3cos3 128128128322 63273 coscoscoscos3 128128128 xx AAAA ttAtttt AAAAt Atttttt AAAA Atttt 55 555 2 33 cos3cos3cos5 12864128 3243 coscos3cos5 128128128 AA ttt AAA Attt 为避免方程的久期项，注意，此时仍为避免方程的久期项，注意，此时仍对对cos t项考虑项考虑，有 4 2 3 128 A 此时方程 3 进一步简化为 55 22 243 cos3cos5 128128 AA xxtt 采用待定系数法，设解为 2 0 cos n n xBn t ，有 55 2 0 243 coscoscos3cos5 128128 nn n AA Bn tn Bn ttt 5 3 3 128 A B ， 5 5 1024 A B ，根据初值条件，确定 5 1 23 1024 A B 555 2 233 coscos3cos5 10241281024 AAA xttt 有 6 非线性振动 33252525 233 coscoscos3coscos3cos5 323210241281024 AAAAA xAtttttt 224 22 0 33 1 4128 AA 实际系统的建模，需要根据实际情况，在激励或阻尼以及刚度项上设置小参数，如，激励较小，与 小参数同数量级，那么可以设激励力为可以设激励力为 F，如果认为阻尼也是与小参数同数量级，则可令，如果认为阻尼也是与小参数同数量级，则可令 =。求解 亚谐波响应或者超谐波响应，要在角频率幂级数展开中