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研究生应用数学基础

文档名称:研究生应用数学基础
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上传者:dingzx
添加时间:2017/06/17
内容摘要:
第一章线性空间与内积空间
集合论是现代数学的一个重要基础.在集合中赋予不同的结
构,如代数、度量,范数、内积、测度等结构,可以构成不同的抽象空
.本章前两节简要介绍嵬合与映射、线性空间与线性算子的基本
概念和性质,规范本书中采用的有关术语和记号.在后两节中,将
研究内积空间及内积空向中的正交系
S1.1集合与映射
关于集合与映射的基本概念和性质概括級述于本节中,本书
中采用的有关集合与映射的术语和记号在这里作一个明确的交
待,以后引用时不再一一说明
集合及其运算
集合(或称为集)是数学中一个最基本的概念,也是人们能够
直观理解的一个概念,如同几何中的“点”与“直线”的概念一样,很
难给“集合”下·一个严格的定义所谓集合,就是指具有确定的或适
合一定条件的事物的全体.组成集合的这些“事物”称为集合的元
素,若A是集合,x是A的元素,则记为x∈A;若x不是A的元
素,则记为x∈A
集合常用大写字母表示,集合的元素常用小写字母表示.通
常,表示集合的方法采用列举法和描述法
如果集合A的所有元素都能列举出来,则可把它们写在大括
号里表示该集合A.例如由元素a,b,c所组成的集合记为
b,c.
应该注意,a与(a}是不同的.a表示一个元素;而{a}表示仅
含有一个元素a的集合,称之为单元家集
如果集合A是由满足某种条件或性质p(x)的元素x的全体
所组成,则可记A为
(x}か(x)}
例如,方程x2-1=0的实数解的全体组成的集合可记为
1=0}
显然,这个集合也可以用列举法表示为{-1,1}.
只含有限个元素的集合称为有限集.不含任何元素的集合称
为空集,空樂常记为必.既非空集又非有限集的集合称为无限集
设A和B是两个集合,若对于每一个x∈A必有x∈B,则称
A是B的子集,记为AC8(或BつA),也称A含于B(或B包含
A)若ACB且BCA,即A与B中的元素完全相同,则称A和B
相等,记为A=B.若A和B不相等,则记为A≠B.若ACB且A
≠B,则称A是B的真子集,记为A?B,读作A真包含于B.
对于任意的集A,规定CA
常用集合记号如下:
N表示全体自然数组成的集合,即
N={1,2,3,…};
2表示全体整数组成的築合,即
=(…,-2,-1,0,1,2,……};
R表示全体实数组成的集合(有时也称欧为数直线)
表示全体有理数组成的集合
C表示全体复数组成的鬼合
定义1.1没A和B是两个集合
(1)由集A与集B共有的元素组成的集称为4与B的交,记
为AnB,即
AnB={xx∈A且x∈B}
(2)由集A与集B的所有元素组成的集称为A与B的并,记
为AUB,即
AUB=1xlx∈A或x∈B
(3)由属于集A而不属于集B的元素组成的集称为A与B
的差,记为AB,毋
ANB={xx∈A且xB
4)若BCA,则差集A、B称为B关于A的余集或补集、当
所讨论的東合凿为某一个固定集X(称之为基本集)的子集时,X
的子复B关于X的余称为B的余集,记为B,邱
B=X\
两个集的交与并的定义可以推广到更一般的情况
设D是一个非空集,当a遍取集の时,A,a∈D}是所有以
集A。为元素的集合,称之为以D为指标集的集族,这一集族的交
nA。与并UA定义为
at D
A。={x'对于每一个a∈D皆有x∈A,}
E B
U.A。=《x1存在∈D,使得r∈Aa
当D=N时,∩A,和UA.可分别记为∩A,和UAn
∈N
例1.1数直线上的闭区[0,]表示所有满足0≤x≤1
的实数x的全体,因此
[0,1]=〈axix∈R,0≤z≤1
上式右端也可记为x∈10≤≤1》.当视为基本集时,还
可简记为{xi0≤x≤1}
例1,2设1为全体正有理数组成的集,由于每一个正有理
数都可以表示为2的形式(其中か,q∈N),对于每一个q∈,令
则有念=UA
例1.3设E是数直线中所有开区间的全体组成的集,则
E={(a,b)a,b∈,aE的元素(a,b)是开区间
从上雨的定义,容易得到下面各条性质
(1)对于任何集A,B,C,下列性质成立
幂等性AUA=A,A0A=A
传递性若ACB且B~C,则ACC
(2)设X是基本,对于任何集A,B,则有
ANB=A∩B
AUAc=X,A∩AC=必;
X=0, =X
若ACB,则A
若A∩B=必,则ACBC且BCA
定理1.1设{Aaz∈D}是一个集族,A2B,C是任意的集,则
下列运算性质成立:
(1)交换律A∩B=B∩A,AUB=BUA;
(2)结合律(AnB)∩C=A∩(B∩C),
(A B)UC=AU(BUC)
(3)分配律(门Aa)UA=1(A。UA)
∈D
(UA)0A=U(0A
证明只证(3)的第二式,其余的证明方法类似
对于任意x∈(UAa)门A,则x∈UA。且x∈A.于是存在
a∈D使x∈A。且a∈A,从両ェ∈A)A,故x∈U(A1∩A).这表
ED
明包含关系(UA-)AAこU(AaA4)成立
D
另一方面,对于任意x∈し(A。A),则存在a∈D,使得
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