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微分几何 王家彦

文档名称:微分几何 王家彦
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文档大小:13140KB
上传者:susewhl
添加时间:2017/06/17
内容摘要:
出版说明
为了适应广大在职人员和社会青年自学成オ的需要,根据
国家建立高等教育自学考试制度的精神,以满足学员自学材
的要求,由辽宁人民出版社出版一套大学数学系自学丛书。
本丛书是由东北师范大学数学系,根据教育部规定的普通
高等院校本科必修课现行教学计划和教学大纲编写的。教材内
容系统,数据充实,条理清晰,深入浅出;每章均有学习指导
和习题解答,便于自学。经过刻苦自学,即可无师自通,达到
本科毕业水平。
本丛书有:空间解析儿何、高等代数、数学分析、高等几
何、常微分方程、复变函数论近世代数、实变函敬论、微分
几何、计算机与算法语言 BASIC、概率论与数理统计、计算
方法等。本丛书既可供自学应试之用,也可供大专院校的本科
在校生和函授生及业余大学学生使用。
本丛节由于水平所限,不当之处在所难免,我们热诚希望
广大自学读者批评指正。

第一部分微分几何
第一章曲线论………1
?1简单曲线弧及其解析表示
s2曲线的弧长,微分不变量…
3坝触阶
S4曲线弧的相伴三棱形…
5曲线的伏雷内一塞雷特( Frenet- Serret)
公式
S6曲线的曲率和挠率
31
S7曲线在正常点邻域中的结构…
S8曲线的基本定理
48
S9定倾曲线与贝特朗( Bertrand)曲线……52
习题
57
第二章包络论
64
S1简单曲面片及其解析表示………………64
§2曲面的参数化和曲线坐标……
69
s3单参曲面族的包络……………80
S4脊线………………………………-86
§5单参平面族的包络…………………89
§6直纹面和可展曲面…91
§7渐伸线与渐屈线
94
习题
0
第三章曲面论
103
1曲面的度量性质………………103
S2曲面的等距、等角和等积变换……
§3曲面的第二基本微分形式……131
S4曲面的基本定理………163
S5曲面上向量的列维一齐维他(Levi- Civita)
平行移动
83
S6测地线……188
S7常曲率曲面…
200
习题…
第四章*黎曼( Riemang)流形上的几何?227
§1预备知识
27
2黎曼流形上的几何…
26
第二部分微分几何学习指导
308
第一章曲线论学习指导…………,308
第二章包络论学习指导……………340
第三章曲面论学习指导……………………358
第四章黎曼流形上的几何学习指导
pP略DDb自ab
387
第三部分微分几何习题解答…,390
第一章曲线论习题解答…
390
第二章包络论习题解答
437
第三章曲面论习题解答………470
附梁I向量分析………………………585
操历史略述……………………………608
后记
611
第一部分微分几何
第一章曲线论
曲线是微分几何研究的基本对象之一。在这一章里,我们
主要讨论光滑曲线在某点邻域内的形状和性质。
§1简单曲线弧及其解析表示
为了给出曲线的概念,我们先介绍一下关于从空间中任意
点集到另一点集的映射知识
设M,N是任意二点集,当它们之间存在某种对应关系,
使得M里的每个点X都有N中的一点f(X)与其对应时,我们
就说给定了从集M到集N的一个映射f*,记作f:M→N。点
f(X)称为点X的象。集M中所有点的象{f(M))称为M在N
中的象
如果给定N的一个映射f,使集合N中的点f(X)与M里
的点X相对应,则称映射f为∫f的逆映射
如果两个点集M和N,满足下列条件
(i)单值映射:M里的不同点,在N里有不同的象(同
样,N里的不同点,在M里也有不同的象),即f(f)是单
值映射。若f,f都是单值映射,这时,说M与N是一对
()是指一个变换或一种对应。

(i)连续映射:对于M中的任意两点X,Y及任意的
个正数>0,总存在正数6>0,如果M中两点X,Y的距离
IXーY<,使得N中的两点f(X),f(Y的距离げf(X)ー
f(Y川【定义】已给两个集合M和N,它们之间如果存在映射f,
满足条件
(1)J是一对一的
2)f和它的逆f都是连续的。这时称M与N同胚。
例如,我们最熟悉的平移变换和旋转变换就是单值的莲续
映射,所以变换前后的两个点集M={xx=(x,),x,y∈R
与f(M)={f(X)If(X)=(x+ん,ッ+)}是同胚的(k、ん为
常数);M=てXX=(x,);x,y∈R}与f(M)={f(X)f(X)=
(xcos6-ysin,xsin6+ycos6);xメy,6∈R}也是同胚的(の
为已知常数)
下面,我们定义简单曲线弧
【定义】已给一曲线弧L和一开直线段S,若L满足下列
条件
()L与S同胚
L上每个点都存在切线,而且当切点沿L移动时
切线也随之连续转动。
这时,称L为简单曲线弧。简单曲线弧上的点叫正常点。
由条件(i)知简单曲线弧是光滑的。
假设线段S上点的坐标用參数(a<<め)表示,它在映射
f下的象是曲线弧L,并设x(),(),x()是与线段S上的
点相对应的曲线孤上点的坐标,则函数组
x=x(),y=y()。文=x()(aくな<り
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