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微分几何导引

文档名称:微分几何导引
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文档名称:微分几何导引
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文档大小:18947KB
上传者:nai
添加时间:2017/06/17
内容摘要:

微分几何是一门极饶兴趣的数学.它的本质是用分析手段来
描绘几何不变量.一方面,它既为分析拓广了问题的泉源,又为某
些分析上的定理提供了具体形象:另一面,随着分析方法的发展
微分几何内容也愈来愈充实和深刻.自17世纪微积分出现之后,
大数学家uer, Laplace, Monge,Gaus3, Biema nn都为这门学
科作过莫基性的工作.到19世纪中叶,随着内容的充实,迫使微
分几何成为数学的一个重要分支。由于W. Blaschke,E, Cartan
等大师的贡献,微分几何中使用的分析手段已包括微分方程,李
群,变分学,泛函分析,代数拓扑,复变函数论等等.学者穷尽毕生
精力,能窥其全部秘奥者,在全球范围内已寥寥无几.近年来,数
学物理中广泛应用微分几何知识,规范场论反过来又为微分几何
服务. Donaldson, Freedman, Uhlenbeck的工作都够令人耳目
新;诚非始料所及.所以尽管微分几何已有几百年历史,它仍生
机勃勃,含葩待放
作者从事微分几何的学习,始于30年代。适逢连年战乱.生
活上颠沛流离,居无定所.真正系统学习,实为1949年建国以
后.岁月如流,韶华易逝,弹指间须发皆白,垂垂老矣.40年来,
总感未学到的内容浩如烟海;心有余而力不足。不少基本问题不
弄清楚,则后续部分犹如水上浮萍,空中楼阁.但要彻底了解,又
不是短期内所能济事.因此趁退休之闲,将历年对研究生授课讲
稿,重新整理成册,希望就教于海内;另一方面。希望后来人少走弯
路。有助于本学科在我国的发展,此乃出版本书的目的
本书第一章介绍所用的代数知识,系假定读者已掌握大学本

科的线性代数,第二章为微分流形的基本知识,要求读者学过尺
度空间的点集拓扑学高等微积分.第三章外微分是在前两章的
基础上介绍E. Cartan的外微分法.这方法是本书中常用的工
第四章介绍李群的基本知识,顾名思义,阅读时需要一般的群
知识和微分流形上的微积分.没有李群的知识,所谓运动群,主
丛,和群空间的几何学均无从谈起,第五章引入连络空间的一般
知识,最后用 Ambrose- Singer定理说明和乐群与曲率的关系
第六章介绍黎曼几何的基本知识,其中讨论的问题是带根本性
的,第七章介绍复流形上.的几何学。如所熟知多元复变函数和
复流形的研究为当代的热门,其核心手段就是几何方法。第八章
介绍 Jacobi场的理论,藉以引进有关共轭点的 Morse理论.在
整体微分几何中, de Rhan定理和 Hodge分解定理是极端重要
的,然而证明却非常之难,难在用到的预备知识不是一般微分几
何学者所能掌握的,为了弥补这个缺陷,本书第九章专门介绍层
论,藉以用. Cartan的方法证明 de Rham定理,而不必假定牵
涉的微分流形是紧致的.本书第十章介绍 Hodge分解定理的证
明,最后以 Laplace- Beltrami算子的谱作为终结,这两章几乎全
部采用F,W. Warner的 Foundation of Differentiable Mani
fold and Lie Groups(1983)的处理方式.在此谨向 Warner教授
衷心感谢.
正如本书所用书名所云,它只能作为学习微分几何的导引,为
阅读现代文献铺平道路,若欲对各个专题展开研究,还要针对课
题阅读专门文献,无所不包的微分几何教材是不存在的,也是没有
必要的
编写本书时采用的参考资料甚多,为节省篇幅和防止挂一漏
万,未在用到处分别指出,只在本书末尾开列主要参考书目
本书插图系蒙南京大学罗亚平同志在百忙中抽出时间代为绘
制,谨此致谢.如所熟知,数学书内符号奇形怪状,五花八门毫末
之差,谬以千里,排印校对时,需要特别细心,承南京大学出版社

iii
与印刷厂不辞辛苦,与作者合作,多方迁就,使本书尽快面世,作者
谨此衷心感谢
如所熟知,目前出版学求著作,还存在不少困难.本书出版得
力于南京大学郑维行,陈载璋两教授鼎力支持,自始至终关心备
至.作者将终生铭感。
由于作者学识肤浅,整理时又值年逾古稀,精力衰退,反应迟
钝,两目昏花;本书付印之前,虽经多次批阅,历时五年,疵谬之处
仍可能出现,敬希海内专家硕学之土不吝指正是率
黄正中
1990年12月于南京大学
目录
a。?。自中●。●中●●p●も●自●号。。甲甲4晶●中自●
第一章代数预备知识……………………1)
81.1张量代数…
………(1)
81.2张量
81.3外代数
(16)
81.4 dodge星号算子………………(26)
81.5李代数的基本概念………(28)
第二章微分流形……………33)
82.1微分流形的定义………………33
§2.2光滑流形之间的映射………(40)
§2.3切空间…………………………………43)
82.4子流形……
(50)
82.5嵌入定理…………(61)
82.6 robertus定理……………(70)
第三章外微分……………80
83.1切丛和外微分形式…………………(80
83,2外微分………………(86)
83.3单位的剖分定理…(98
§3,4微分流形的定向
(111)
83.5微分流形上的积分
(117
83.6 De Rham群………………………(134
第四章李群初步………………(139)
84.1李群的定义………………………(139
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