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微分几何原理习题解答

文档名称:微分几何原理习题解答
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文档大小:4606KB
上传者:ZXG
添加时间:2017/06/17
内容摘要:

1977年美国 RICHARD S. MILLMAN, GEORGE D
PARKER著的& Elcmcnts of Differential Geometrv(微分
几何原理)是一本难得的好书,它的突出的贡献是用当代的科
学观点重新处理了传统的微分几何基本内容。这本书的编排有
自己的特点,它从现代心理学的观点出发,考虑到学生的接受
和消化能力,配备了数量较多的问题,这些题目不仅开折了书
中正文的内容,而且有一定的深度和广度。还考虑到学车:进
步学习的需要,注意到与邻近学科的联系,习题中包含了为进
一步学习微分流形,黎曼几何等课程所必备的基本知识。为帮
助读者阅读这本书,我系几何教硏室的根洪、熠瑞秀、周建伟
老师在多次讲授该课的基础上,将《微分几何原理》一书中的
全部习题作了详解。编成《微分几何原理习题解答》

编写中,得到了数学系演导,校教材科和几何教研宝全体闭志
的支持,书成后,并承北师大王申怀老师和我系老师审阅,遠
此致谢。出于编者水平有限,书中错误难免,敬请批评指正。
作者1986年5月于苏州


第一章预备知识
矢量空间
线性变换和特征向
问和叉积!
1ー4直线、平面及球面
问量微积
(14)
第二章局部曲线论
基本定义和例子
2孤长
(24
23出率和 Frenet- Serret标架……26)
2-4 Frenet- Serret理及其推论…
(33)
2-5曲线的基本定理·…(62
2-6非单位速率曲线………(66
第三章平面曲线的整体理论
线积分与 reer定理……(73)
3一2平而曲线的旋转指标
?(75)
-3仏曲线
(76)
3-4等周不等式……(77)
5四顶点定理
(77)
第四章局部曲面论
1-1基本定义和例子……………………(85)
(95)
1-3第一基本形式和弧长………(9
4--4法曲半,测地曲率和高斯公式……(103)
测地线
1-6沿曲线的平行向量场和平行移动……….(129)
4-7第…基本形式和 Weingarten I映射
(13)
4-8主:曲率、高斯曲率、平均曲率和法曲率?…(137)
4-9黎曼曲率和高斯基本定理
169)
4-10等距和曲面基木定理
(181)
4-11常曲曲面
(190)
第五章空间曲线的整体理论
1 Fenchel定理
(197)
Fary-.Milれor定理
(198)
5-3全挠率
(200)
第六章曲面的整体理论
简单的有关曲率的结果………………(201
沏地坐杨
?………(203)
6-3可定向性和角变差……(206
6-1Gass- Bonnet公式………207)
Gaus- Bonnet定理和Eler示性:数………(209
6-6 Jacobi定理和 Hadamard定理……-(212)
6-7向量场的指标………………-(215)
第七章流形的初步
7ー1一些分析预备知识…………………………(217)
7一2流形一定义与例子…………………-(219)
7-3向量场和切空间……………………(223)
量场和李括号………(226)
7一-5块射的微分和子流形
………(231
7一6流形上的线性联络………(235)
7一7具有线性联络流形上的平行向量与测地线?……(239)
7-一8黎曼度量、距离和曲率…………(244)
第一章预备知识
矢空间
11.求证次数低于或等于n的多项式的集合构成一实矢
空间,它的维数是多少?次数正好是m的所有名项式集能否
构成一矢量空问?
证记[x]为实系数上的次数小于或等于n的多项x
的全体。容易证明[x]对于通常多项式的加法和数量乘(法)
运算是封闭的。即Vf(x),g(x)∈Ra[x],a∈况,
f(x)+g(x)∈En[x],af(x)∈Rn[x
另外,n[x]对于加法和数乘满足矢量空间定义的(a)
(h)条,故R。[x]构成一矢量空间
Rn[x]是m+1维矢量空间,这是因为x
1是线性无关的(box"+bx+…+bn-1ェ+bn=0,则得
b。=0,b;∈R,0≤i≤れ),且Vf(x)∈
R,[x],则有f(x)=aox"+a1x"1+…+an-1x+ana;∈R,
0≤i≤加
次数正好是的所有多项式的集合不能形成一个矢量空问,
闼为在这个集合内对加法运算不封闭。例如f(x)-1+x+x2
+x"。g(x)=1+x+x2+…+x
均为n次多项式
但f(x)+g(x)=2+2x+…+2x"-1不正好是m次多项式了。
1.2求证D3={f?Rー>RIf在ェ=5处可微}是一个实矢
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