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微分几何概论 石原繁

文档名称:微分几何概论 石原繁
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上传者:ptsjxzzdwdd5
添加时间:2017/06/17
内容摘要:


中译本前言


曲线
S1向量
s2曲线……
3曲率挠率
S4自然方程……18
习题
23
第二量曲面Ⅰ
5局部曲面
?26
§6筒单曲面…………………………………30
S7切空间切向量………………34
S8第一基本量?………………………………………………43
S9第二基本量全超率
52
S10主曲率平均曲率…………………62
习题
73
第三曲面Ⅱ
S11曲面的基本公式………………77
S12曲面上的曲线测地线………………………83
S13曲面的结构方程
………·87
s14崩尼定理…
95
S15曲面的映射
100
s16等距映射
105
习题
107
四章流形
s17流形
112
§18黎曼空间……………………………120
s19张量…
………………………………123
§20微分形式……………………131
321微分形式在曲面论上的应用…………14
习题四
149
第五黎曼空间
§22共变微分
153
s23曲率张量………………………160
S24平移展开…
ned?·●。●●●·d
……………………165
S25测地坐标………………………………………172
S26高斯?崩尼定理
??…?…………????……?184
27二维常曲率空间非欧平面……………………189
§28映射等距映射
195
§29变分………………………………202
S30黎曼丽
206
习题五………………………い……………210
第六章同调上同调
S31复形…
14
S32同调……………………………218
s3流形的三角剖分
227
834微分形式的积分
230
835高斯?崩尼定理(大范围)
236
836单位正交标架
237
37上同调…
240
§38同调上同调…………242
839调和形式…
243
840黎曼空间的上同调…
249
习题
251
习题解答……………………………………254
案引
270
第一章曲线
§1向量
在三维欧氏空间E内取直角坐标系。当E的点P的坐标为
(x,yx)时,此点以P(にy、2)表示之。E8?内的向量A的分
量为AxsA,A2时,将A记做
对于E8的一点P(xy、x),对应以从原点O到P的向量OP
这个向量OP叫做点P的位置向量。点P(x,y,x)的位置向量x
可写做
2
二向量
B= B
B
的内积AB与外积AxB分别是
A.B.-4.B
A B-4.B,+4,B, +4, B, AXB=4.B, -4, B
A.B-A、B
关于三个向量A,B与C=(C、,下式成立。
B C
A(BXC)=A, B, C
A.B. C
此式又可写如
lABC?=A(BxC
向量A之长(或棋)由下式给定
A=VA A =v(42)2+(4,)2+(42)
设在区间「上定乂的向量函数(其值为E的向量函数)A()
t∈I)为
A-(t)
A(t)=[A,()」(t∈I)
则其分量A:(),A,(),A2(い)为定义在上的函数。如果三个函
数Ax,AyA:连续时,就说向量函数A连续。如果4x,A4y42
无限次可微分时,就说向量函数A无限次可微分,A叫做C。向量函
。一般来说无限次可微分函数叫做C。函数。以C°向量函数A的
分量的导函数为分量的向量函数
叫做向量函数A的导向量(函数)y用记号
t
表示。这时下式成立
da(t)
(+タ-4
对于向量函数的微分法,普通函数的微分法里成立的规律,几乎
全都成立。特别是下列规律成立:对二向量函数A,B的内积与外
积有
B+A
dt
A
(AxB)=2×B+Ax
db
dt
【问题1.1】设A为单位C。向量函数(长为1的向量叫做单
位向量)。试证下列事实。
(2)如果Aキ0,那末A与A垂直
模仿微分学定义C。向量函数A的高阶导函数。A的ル阶导函
数用记号
表示。将C向量函数A在o∈1的周围台劳展开之,在o的某部
域内得
A()=A(t。)+A'(to)(ーto)+-2-A"o)(tーto)2+

A(m(ta)(なーto)+R
式中Rn为剩余项。
【问题1.2)关于C。向量函数A,B,C,试证下式
(1)A?A/= A A
(2)(A?BーA?B)=A?B"ーA"B
(3) ABC=1A BCI+1AB/CI+ABC
对于两个以上自变量的向量函数也模仿普通微分法定义其连续
性,可微性。此外,偏微分、全微分的记号也模仿微分法
§2曲线
开区在8里的映射x:I→E叫做曲,其中x()表示
对于(∈),点P,∈E3的位置向量。今设
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