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微分几何 徐森林

文档名称:微分几何 徐森林
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文档名称:微分几何 徐森林
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上传者:414823450
添加时间:2017/06/17
内容摘要:
内容筒介
本书主要介绍了 Riemann流形、 Riemann联络、 Riemann截曲率、Rici曲
率和数量曲率.详细研究了全测地、全脐点和极小子流形等重要的内容.此
外,还应用变分和 Jacobi场讨论了测地线、极小子流形的长度、体积的极小性。
在证明了 Hodge分解定理之后,论述了 Laplace- Beltram算子△的特征值以及
谱理论·最后,证明了 Synge定理、著名的拓扑球面定理和一些曲率与拓扑相
关联的重要定理,本书可使读者具有良好的近代数学修养并能增强研究的能

本书可用作理科大学数学系和物理系高年级研究生和大学几何、拓扑专
业学生的教科书以及相关教学、研究人员的参考书

微分几何的始祖是C.F. Gauss t(1777-1855),他引进了曲面
的第1基本形式,建立了曲面论.B. Rieman(1826-1866)在1854
年有名的演讲将这个理论推广到n维空间, Riemann几何就此产
生,局部微分几何开始了飞速的发展,产生了张量分析.同时,1970
年,F. Klein发表了他的著名的埃尔兰纲领( Erlanger program),由
群论的角度研究空间变换群的不变量,从而引进了各种不同的几
何学.另外,复变函数的单值化理论促进了 Rieman曲面的研究
这种种理论以及经典的曲面理论,构成了20世纪微分几何发展的
基础.许多著名数学家,如E, Beltrami,E.B. Christoffel,R. Lipschitz
等又发展了 Riemann的新几何
本世纪30年代 Einstein提出的广义相对论,近三十年来
Yang-mills 3提出的规范场等等就是几何学与物理学相结合的最好
例子
微分几何的主要问题是整体的,即研究空间或流形的整体性
质,尤其是局部性质与整体性质的关系, Gauss- Bonnet公式以及许
多曲率与拓扑相关的定理就是实例
全书内容共分五章.第1章是预备知识,介绍了 Riemann几
何的主要内容: Riemann度量g,Livi- Civita( Riemann)联络、Rie
man流形基本定理, Riemann截曲率、Rici曲率、数量曲率、常截
曲率流形、 Laplace算子Δ以及活动标架法.第2章是子流形几何
引进了全测地、极小和全脐子流形的概念,举出了 Euclid空间和
单位球面中大量极小曲面的例子,并讨论了单位球面上紧致极小
子流形的刚性问题,第3章是应用变分和 Jacobi场讨论了测地线
和极小子流形.第4章研究了流形(可定向和不可定向)上的
Hdge分解定理和 Apace- Beltram算子Δ的特征值,并在题中讨
论了等谱与等距之间关系的问题?第5章给出了曲率与拓扑相关
联的 Synge定理, Rauch比较定理和著名的拓扑球面定理.此外
还证明了具有相同常截曲率的空间形式是等距的 Riemann流形
本书是中国科学技术大学研究生系列教材之一,收集的内容
很丰富,论述很严谨、详细,这是为了使读者可不必过多地査阅文
献就能熟练地掌握近代微分几何的基本知识
本书的特点是注重微分几何与微分方程相关联的问题、微分
几何与拓扑相关联的问题,这是当代微分几何两大重要研究方向
在论证命题时(例如 Riemann流形基本定理、F. Schur定理)常采
用或同时采用近代观点映射观点)、古典观点(坐标观点)和活动
标架法,这是本书的另一个特点.书中第2章2.5、第4章4.4以
及配备的大量习题是为读者在研究方向上开设的一些窗口,希望
能帮助读者思考和研究更深入的问题,以致尽快进入微分几何研
究的前沿.
少年班优秀大学生梅加强倪轶龙、刘湘伟和数学系研究生夏
青岚、王春苗和杨晓松、祁锋以及访问学者夏大峰副教授都仔细阅
读了本书,并提出了许多宝贵的建设性意见,作者在此对他们一并
表示衷心的感谢
由于水平有限,书中肯定有错误和不妥之处,请读者多提宝贵
意见
徐森林
薛春华
1996年7月
2

第1章Ievi- Civita联络和 Riemann截曲率…
.1向量丛上的线性联络
1.2切丛上的线性联络、向量场的平移和测地线……15
1.3Levi- Civita联络和 Riemann流形基本定理
32
1.4 Riemann截曲率、Ricc曲率、数量曲率和
常截曲率流形…
5
1.5 Laplace算子△
88
1.6°浸入子流形的 Riemann联络………………109
1.7活动标架?…………………………………………124
第2章子流形几何…………………………150
2.1全测地、极小和全脐子流形
51
2.2 Euclid空间和 Euclid球面中的极小子流形
172
2.3 Kahler流形
………………?………………185
2.4 Kahler流形的例子………………………………202
2.5单位球面上紧致极小子流形的刚性…………221
第3章 Jacobi场、变分和极小子流形
?248
3.1测地线、指数映射和流形的完备性………………249
3.2 Jacobi场、共轭点和割迹
26
3.3长度的第1和第2变分公式………………287
3.4体积的第1、第2变分公式和极小子流形……………306
3.5 Morse指数定理……
330
第4章 Hodge分解定理和 Laplace算子△的特征值…342
4.1星算子★、上微分算子6和微分形式
的 Laplace算子△……343
4.2 Hodge分解定理……………………349
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