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黎曼几何

文档名称:黎曼几何
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文档名称:黎曼几何
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上传者:Helei1986
添加时间:2017/08/05
内容摘要:

中译本前言
前言
序论
第一章向量与微釈分
s1向量
?中画章D·??
3
S2张量
?●e自D毒自电。pe●●●●PP由PBD自单p自
S3映射
S4微分方程
s5外积与外微分
………………………-20
习题
25
第二章氏平面与氏空间
s1·曲线坐标
?27
S2活动标架……………………31
S3空间的曲线坐标…
…………38
s4结构方程…………47
习题
第三章曲面
1曲面
5Ⅰ
S2等距对应与保角对应……………………………54
高斯曲率
DP甲
……………………………?………………59
S4曲面的展开……………………………-68
S5向量的共变微分与测地线
73
6高斯?崩尼定理………76
s7非欧平面……………………-80
习题三
88
第四章·微分流形
s1向量空间………………………………91
s2欧氏向量空间
100
3仿射空间与欧氏空间……………103
S4微分流形
105
§5切空间
110
6完全可积微分方程…………………………117
习题四
122
第五章仿射联络空间
s1仿射联络
s2仿射联络的挠率与曲率…
132
习题五
?………………………………………139
第六章黎曼空间
§1n维黎曼空间…
14I
s2测地线……………………………………145
3曲率张量
…?…?…???…?150
§4超曲面与常曲率空间………………………154
习题六
161
第七黎空间的誉问返
1测地线………
163
S2和乐群
164
§3截面曲率………………………168
§4保角映射与射影映射
169
5李导数………………………173
§6齐性空间与对称空间……
177
s7空间形问题…
………?……?………?……?…181
S8嵌入问题…
82
S9高斯?崩尼定理的扩充……………182
S10调和积分………………………………184
§11凯拉流形
186
S12广义黎曼空间………………………………190
习题略解…
192
参考文献……………………………………199
囊引……………………………………………20


如果使用平面直角坐标(x,y),则弧S的微分ds可表示为
dsi=dx2+d
如果再用极?标(r,6)表示之,则得
ds2=dr2+r2dθ2
当在空间里有一个曲面,因曲面
具有二维的展度,故面上的点的直角
坐x,yz可用二变数a表示

x=f(u, v), y
h(i,
这时,此曲面上的弧长的微分是
S
用,表示之,得
dsi=a(u, v)du+26(u, v)dud+c(u,v)dv (1
的形状。
现在考虑此曲面无伸缩地变形,这时ds并不変化。在这种情况
下,曲面的许多性质之中有
在曲面无伸缩的变形下不变的性质
而且这个性质只由(1)的ds而定。曲面的测地线、展开、共变
微分、高斯曲率等都是这样性质。特别是,高斯曲率在这样曲面的变
形下不変一事是高斯(C.F。 Gauss177~1855)的伟大发现。
黎曼(G。F。B。 Riemann1826~1866)进一步发展了这样性
质,他考虑点有个坐标x1,x2
n的加维空间,在此空间中
研究了弧长的微分ds由
ds2=と9:《x1,x2,…,xn)dx;dx
给定的情况。后人称此空间为黎曼空间
进入本世纪以后。爱因斯坦(A。 Einstein1879-1955)运用黎
曼空间做为相对论的基础以来,即使在数学家之间对此空间的研究也
极盛行,在今天仍然不断获得各种兴趣盎然的成果。
从此角度看,三维空间的曲面是二维黎曼空间。在曲面的情况
下,有切平面起着重大作用。然而对于一般的黎曼空间并非预先就有
象切平面这样方便的东西。因此,在加维黎曼空间里,用某种方法在
它的各点定义所谓的切空间,并将不同点处的切空间联系起来的“联
络”用(2)决定下来,由此再对黎曼空间进行研究。
在这本书中,首先在第一章里阐述必要的数学知识,在第二章里
黎曼几何的角度考察欧氏平面与欧氏空间。在第三章里将三维空间
的曲面看做二维黎曼空间,以曲面的展开、高斯曲率、测地线等重要
基本概念为中心加以说明。而贯穿第四、五、六章仔细解释了n维空
间的基本问题。
在黎曼空间里有局限于其一邻域内考虑的局部(Ioca1)性质以及
牽涉空间全体的整体(大范围, global)性质,现在数学家关心的是
以局部性质为基础研究整体性质的整体黎曼空间论。到本书第六章没
有篇幅说明这样内容,故在第七章把没有机会叙述的一些更加深入的
局部性质以及整体黎曼几何研究不加证明地简单介绍一下、想要进
步了解详细情况的读者请读卷末参考文献介绍的书。
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